“硬币兑换”和“爬楼梯的方式数”有什么区别

Question

我遇到了两个动态编程问题。问题之一是

考虑到我一次可以跳 1、2 或 3 步，爬 n 步楼梯的可能方法有多少？

解决这个问题的动态规划方法如下。

If C(n) is number of ways of climbing the staircase, then 
C(n) = C(n-1) + C(n-2) + C(n-3) . 
This is because , if we reach n-1 stairs, we can hop to n by 1 step hop or
                  if we reach n-2 stairs, we can hop to n by 2 step hop or
                  if we reach n-3 stairs, we can hop to n by 3 step hop

当我正要思考的时候，我理解了上面的方法，我遇到了硬币找零的问题

给定无限数量的 25 美分硬币、10 美分硬币（角钱）、5 美分硬币（镍）和 1 美分硬币，表示 n 美分的方式是多少

事实证明，这个问题的解决方案与上面的解决方案不同，而且有点复杂。那是 ， C(n) = C(n-1) + C(n-5) + C(n-10) + C(n-25) 不正确。我仍在尝试了解解决此问题的方法。但我的问题是硬币找零问题与更简单的攀爬步骤问题有何不同？

Answer 1

Scott 的解决方案是绝对正确的，他提到了这两个问题不同的症结所在。这里对这两个问题进行了更多的说明，以帮助直观地理解差异。

对于涉及递归的动态编程问题，诀窍是正确处理子问题。一旦子问题是正确的，就只需要在此基础上进行构建即可。

楼梯问题处理序列，因此子问题更容易直观地看到。对于硬币找零问题，我们正在处理 counts，因此子问题是围绕是否使用特定面额。我们使用面额计算解决方案的一部分，而不使用它来计算另一部分。这是一个更难看到的洞察力，但一旦看到，您就可以递归地计算其余部分。

所以这是考虑这两个问题的一种方法：

楼梯序列

引入一个新步骤。已添加第 n 步。我们如何计算 S[N]？

S[N] = S[N-1] + S[N-2] + S[N-3]

硬币变化

推出一种新的小硬币面额。假设新推出了一种面额为“m”的硬币。 我们现在如何计算 C[n]，知道 C[N，除了 m] 之外的所有硬币？

所有到达 N 没有硬币 m 的方法仍然成立。但是每个新硬币面额“m”从根本上改变了获得 N 的方式。因此，要使用 m 计算 C[N]，我们必须递归计算 C[Nm，使用新硬币 m]，C[N-2m 使用 m ]...等等。

C[N, with m] = C[N, without m] + C[N-m, with m]

希望对您有所帮助。

Answer 2

在步骤问题中，顺序很重要：(1,2) 与 (2,1) 不同。对于硬币问题，只有使用的每种硬币的数量很重要。