硬币兑换算法

Question

假设我有一组面额为 a1、a2、... ak 的硬币。

其中一个已知等于 1。

我想用最少硬币数为所有整数 1 到 n 找零。

算法的任何想法。

eg. 1, 3, 4 coin denominations
n = 11
optimal selection is 3, 0, 2 in the order of coin denominations.

n = 12
optimal selection is 2, 2, 1.

注意：不是作业只是this问题的修改

Answer 1

这是一个经典的动态规划问题（首先请注意，贪心算法在这里并不总是有效！）。

假设硬币的顺序是a_1 > a_2 > ... > a_k = 1。我们定义了一个新问题。我们说(i, j) 问题是使用硬币a_i > a_(i + 1) > ... > a_k 找到为j 找零的最小硬币数量。我们希望解决的问题是(1, j) 用于任何j 和1 <= j <= n。假设C(i, j) 是(i, j) 问题的答案。

现在，考虑一个实例(i, j)。我们必须决定是否使用a_i 硬币之一。如果不是，我们只是在解决(i + 1, j) 问题，答案是C(i + 1, j)。如果是，我们通过更改j - a_i 来完成解决方案。为了使用尽可能少的硬币来做到这一点，我们想要解决(i, j - a_i) 问题。我们安排好这两个问题已经为我们解决了，然后：

C(i, j) = C(i + 1, j)                         if a_i > j
        = min(C(i + 1, j), 1 + C(i, j - a_i)) if a_i <= j

现在弄清楚最初的案例是什么，以及如何将其翻译成您选择的语言，您应该一切顺利。

如果您想尝试解决另一个需要动态编程的有趣问题，请查看 Project Euler Problem 67。

Answer 2

以下是 Python 中动态编程算法的示例实现。它比 Jason 描述的算法更简单，因为它只计算他描述的 2D 表的 1 行。

请注意，使用此代码作弊会使 Zombie Dijkstra 哭泣。

import sys
def get_best_coins(coins, target):
    costs = [0]
    coins_used = [None]
    for i in range(1,target + 1):
        if i % 1000 == 0:
            print '...', 
        bestCost = sys.maxint
        bestCoin = -1
        for coin in coins:
            if coin <= i:
                cost = 1 + costs[i - coin]
                if cost < bestCost:
                    bestCost = cost
                    bestCoin = coin
        costs.append(bestCost)
        coins_used.append(bestCoin)
    ret = []    
    while target > 0:
        ret.append(coins_used[target])
        target -= coins_used[target]
    return ret

coins = [1,10,25]
target = 100033
print get_best_coins(coins, target)

Answer 3

以下是自下而上的动态规划方法。

        int[] dp = new int[amount+ 1]; 
        Array.Fill(dp,amount+1);
        dp[0] = 0;
        for(int i=1;i<=amount;i++)
        {
            for(int j=0;j<coins.Length;j++)
            {
                if(coins[j]<=i) //if the amount is greater than or equal to the current coin
                {
                    //refer the already calculated subproblem dp[i-coins[j]]
                    dp[i] = Math.Min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1);
                }
            }
        }
        if(dp[amount]>amount)
            return -1;
        return dp[amount];
    }