算法分析基础——主定理

对于形为T(n) = aT(n / b) + f(n)的递推方程，我们有如下结论：

主定理（MasterTheorem） 设a≥1，b>1 为常数，f(n)为函数，n为非负整数，且 T(n) = aT(n / b) + f(n)，则有以下结果：

1. 若存在ε>0，使得f(n) = O(n^log_ba-ε)，则T(n) = Θ(n^log_ba)
2. 若f(n) = Θ(n^log_ba)，则T(n) = Θ(n^log_balogn)
3. 若存在ε>0，使得f(n) = Ω(n^log_ba+ε)，并且对于某个常数c<1和所有充分大的n，有af(n / b)≤cf(n)，则T(n) = Θ(f(n))

证明：详见教材（推导过程略复杂，不想写了qwq）。

由主定理可以直接得到下述推论：

推论1 依主定理条件，递推方程为T(n)= aT(n / b) + c，则

1. 当a≠1时，T(n) = Θ(n^log_ba)
2. 当a=1时，T(n) = Θ(logn)

推论2 依主定理条件，递推方程为T(n) = aT(n / b) + cn，则

1. 当a>b时，T(n) = Θ(n^log_ba)
2. 当a=b时，T(n) = Θ(nlogn)
3. 当a<b时，T(n) = Θ(n)

 例 根据主定理及其推论，我们可以直接得到二分检索算法的平均时间复杂度为Θ(logn)，而二分归并排序的平均时间复杂度为Θ(nlogn)。