期望
期望的定义：
对于离散型随机变量
对离散型随机变量的期望有如下要求
以保证期望是收敛的，而且与\(X_kP_k\)顺序无关
对于连续型随机变量
也有如下要求
马尔可夫不等式
随机变量函数的期望
对于离散型变量X，X的函数的期望计算如下
对于连续型变量，有一致形式
对于多维随机变量 \(Z = g(X, Y)\) 的期望，也有着一样的形式
期望性质
方差
方差的定义
对于离散型随机变量，方差计算如下
对于连续型随机变量，方差计算如下
还有一个常用公式
\(D(X) = E(X^2) - E^2(X)\)
方差基本性质
当\(D(X) = 0\)时，也可以推出\(X = c\)
切比雪夫不等式
协方差
协方差的定义
当X, Y不独立时，用协方差来描述它们之间的关系
协方差的性质
相关系数
相关系数的定义如下
当相关系数绝对值为1时，代表X, Y之间几乎是线性关系
当\(Cov(X, Y) = ρ(X, Y) = 0\)时，X与Y不相关
不相关是比独立弱的条件，独立可以说明不相关，但不相关不能说明独立
条件期望
条件密度函数也是一种密度函数，我们可以在它上面定义期望
并且有如下定理