【数学】纯几何大战向量法 pt.2

质心教育《21天学懂高中数学》例156

如图，直角梯形$ABCD$ABCD中，$AB=AD=2CD=2,AB \parallel CD,\angle ADC = 90\degree ,$AB=AD=2CD=2,AB∥CD,∠ADC=90°,点$M$M在线段$AC$AC上，

则$|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}|$∣MB+MD∣的最大值和最小值是？

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向量君一拿到题就开始以$A$A为原点建立平面直角坐标系！！

易得$AC:y=2x$AC:y=2x

设$\overrightarrow {AM} = \lambda \overrightarrow {AC} (\lambda \in[0,1])$AM=λAC(λ∈[0,1])

$\because C(1,2)$∵C(1,2)

$\therefore M(\lambda ,2\lambda)$∴M(λ,2λ)

$\therefore \overrightarrow {MD}=(-\lambda,2-2\lambda),$∴MD=(−λ,2−2λ),

$\overrightarrow {MB}=(2-\lambda,-2\lambda).$MB=(2−λ,−2λ).

$\therefore |\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MD}|=\sqrt{[(2-\lambda) -\lambda]^2+[-2\lambda-(2-2\lambda)]^2}$∴∣MB+MD∣=[(2−λ)−λ]2+[−2λ−(2−2λ)]2​

$=\sqrt{(2-2\lambda)^2+(2-4\lambda)^2}$=(2−2λ)2+(2−4λ)2​

$=\sqrt{20\lambda^2-24\lambda+8}$=20λ2−24λ+8​

$=\sqrt{20(\lambda-\dfrac{3}{5})^2+\dfrac{4}{5}}$=20(λ−53​)2+54​​ （配方）

$\lambda = 0$λ=0时，原式最大，为$2\sqrt{2};$22​;

$\lambda = \dfrac{3}{5}$λ=53​时，原式最小，为$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}.$525​​.

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然而纯几何君表示：“就这！？”

平移$MB$MB至$DF,$DF,

根据平行四边形法则，$|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}|=|\overrightarrow{MF}|=MF.$∣MB+MD∣=∣MF∣=MF.

连接$BD$BD交$MF$MF于$G$G,

$\because BD,MF$∵BD,MF为平行四边形对角线，

$\therefore MG = FG = \dfrac{1}{2}MF.$∴MG=FG=21​MF.

问题就转化成了求$MG$MG取值范围。

而$G$G为定点，$M$M在$AC$AC上运动，

当$MG \perp AC$MG⊥AC时，$MG$MG最小，为$\dfrac{\sqrt{5}}{10},$105​​,此时$MF = \dfrac{2\sqrt{5}}{5};$MF=525​​;

当$M$M与$A$A重合时，$MG$MG最大，为$\sqrt{2}$2​此时$MF = 2\sqrt{2}.$MF=22​.

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当时在课上例155我给用几何做出来了

然后老师讲到例156，大喝一声：

“纯几何，来，你来啊！”

我就把它做出来了xD

竟然引发了一场几何邪教与代数邪教的大战xDD

我们老师明显是支持代数邪教的

然而旁边另一个老师坐不住了

快 活 的 空 气

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$\textrm{——A.D.Horcrux presents.}$——A.D.Horcrux presents.

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