几何向量：点与直线

转载自: https://blog.csdn.net/yinhun2012/article/details/83717347

这次我们就观察学习二维中点与直线的重要关系，垂线或者说图形学中的法线，因为这和后续的反射向量、光追计算、镜面计算等有很大依赖关系，比如说我们有一个顶点P处于一块二维镜面前，求这个顶点P在二维镜面中的倒影顶点P'，这就需要求出顶点P到镜面所处的直线L的垂线及距离了，如下图：

几何向量：点与直线

首先确定镜面直线L的方程：A*x+B*y+C = 0，这个方程怎么来的呢？无非就是一元一次方程y = K*x+B的另一种写法形式，具体如下：

几何向量：点与直线

那么接下来我们已知一个顶点P(x0,y0)，想求出顶点P在镜面直线L中的倒影P'(x',y')，我们连接P和P'得到的新直线垂直于直线L，同时相交点为P1(x1,y1)，那么我们先起码得求出新直线L'的方程，求法如下：

几何向量：点与直线

这里有一个关键的斜率的问题，我们把直线L方程y = K*x + B中K称为斜率，意思就是以单位圆为参考，直线与x坐标轴的夹角θ的正切值，也就是tanθ，那么直线L的垂线L'的斜率就是-1/k，如下图：

几何向量：点与直线
我们抛开平移不谈，只谈y和x的比例K也就是斜率符合三角函数中正切值tan的定义。

这里我们就总结一下，我们已经把垂线L'方程和相交点P1得到了，如下图：

几何向量：点与直线

接下来就是求解倒影点P'的坐标公式了，无非就是根据向量相等去计算，如下图：

几何向量：点与直线

推到这里基本没什么问题了，最后为了程序实现，我们顺便写上根据两已知顶点求直线的公式，这里我们通过上面讲的斜率方法推导，如下图：

几何向量：点与直线

求直线的方程无非就是求动点P的坐标公式。

最后我们就来程序模拟了，假设我有一条随时变化的镜面直线L，镜面直线L前方有一个物体P，求物体P在镜面中倒影P'，模拟程序如下：





using System.Collections;




using System.Collections.Generic;




using UnityEngine;



 




public class ReflectObject : MonoBehaviour




{



    public LineRenderer mLineRender;



 



    public Transform mMirrorPosA;



    public Transform mMirrorPosB;



 



    public Transform mObjectP;



    public Transform mObjectPInvert;



 



    private float mA;



    private float mB;



    private float mC;



    private Vector3 mInvertPos;



 



    void Start()




    {



 



    }



 



    void Update()




    {



        //计算镜面直线的方程参数，A*x + B*y + C = 0




        //根据之前推导的方程我们可以得出




        mA = mMirrorPosB.position.y - mMirrorPosA.position.y;



        mB = mMirrorPosA.position.x - mMirrorPosB.position.x;



        mC = mMirrorPosB.position.x * mMirrorPosA.position.y - mMirrorPosA.position.x * mMirrorPosB.position.y;



        //同样根据之前推导的倒影点P'坐标公式计算出坐标参数




        float x0 = mObjectP.position.x;



        float y0 = mObjectP.position.y;



        float x = (mB * mB * x0 - 2 * mA * mB * y0 - 2 * mA * mC - mA * mA * x0) / (mA * mA + mB * mB);



        float y = (mA * mA * y0 - 2 * mA * mB * x0 - 2 * mB * mC - mB * mB * y0) / (mA * mA + mB * mB);



        float z = 0;



        mInvertPos = new Vector3(x, y, z);



        mObjectPInvert.position = mInvertPos;



        //给镜面直线画个linerender方便显示




        mLineRender.positionCount = 2;



        mLineRender.SetWidth(0.2f, 0.2f);



        mLineRender.SetPosition(0, mMirrorPosA.position);



        mLineRender.SetPosition(1, mMirrorPosB.position);



    }



}

代码很简单，我只进行了简单的注释，无非就是通过上面推导的公式进行模拟，效果图如下：

几何向量：点与直线

讲到这里，这一篇博客的目的就达到了，后面我们继续深入，在立体几何中进行讲解点与面的关系，最终实现我们想要的真实反射和光追。

so，我们接下来继续。