信息安全数学基础--群环域--群同态等价式

信息安全数学基础--群环域--群同态等价式

• 先验知识
• 群同态等价式 f = σ φ , f=\sigma\varphi, f=σφ,证明 σ \sigma σ是同构的

博主是初学信息安全数学基础（整除+同余+原根+群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。

先验知识

• 正规子群： ∀ a ∈ G , H ≤ G , \forall a\in G,H\le G, ∀a∈G,H≤G,有 a H = H a , aH=Ha, aH=Ha,则称 H H H是 G G G的正规子群，记作 H ◃ G 。 H\triangleleft G。 H◃G。

其中群 G G G本身和单位元 { e } \{e\} {e}是群 G G G的正规子群。
且 H ◃ G ↔ ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊂ H H\triangleleft G\leftrightarrow \forall a\in G,aHa^{-1}\subset H H◃G↔∀a∈G,aHa−1⊂H
证明：
“ → : ” “\rightarrow: ” “→:” H ◃ G → ∀ a ∈ G , a H = H a → ∀ a ∈ G , a H a − 1 = H ⊂ H H\triangleleft G\rightarrow \forall a\in G,aH=Ha\rightarrow \forall a\in G,aHa^{-1}=H\subset H H◃G→∀a∈G,aH=Ha→∀a∈G,aHa−1=H⊂H
“ ← : ” “\leftarrow: ” “←:” ∀ a ∈ G , a H a − 1 ⊂ H → ∃ h 1 , h 2 ∈ H , a h 1 a − 1 = h 2 → a h 1 = h 2 a ∈ H a → a H ⊂ H a ; \forall a\in G,aHa^{-1}\subset H\rightarrow {\exists}h_1,h_2\in H,ah_1a^{-1}=h_2\rightarrow ah_1=h_2a\in Ha\rightarrow aH\subset Ha; ∀a∈G,aHa−1⊂H→∃h1​,h2​∈H,ah1​a−1=h2​→ah1​=h2​a∈Ha→aH⊂Ha;同理， H a ⊂ a H ; Ha\subset aH; Ha⊂aH;故， a H = H a , H ◃ G 。 aH=Ha,H\triangleleft G。 aH=Ha,H◃G。

• 商群：有 H ◃ G , G H\triangleleft G,G H◃G,G对 H H H的所有不同陪集的集合，记作 G / H ， G / H G/H，G/H G/H，G/H关于子集的乘法构成一个群。

证明：单位元+逆元+封闭性+结合性
单位元： G / H = { a H ∣ H ◃ G , a ∈ G } , G/H=\{aH|H\triangleleft G,a\in G\}, G/H={aH∣H◃G,a∈G},已知 a H ⋅ H = H a ⋅ H = H , aH·H=Ha·H=H, aH⋅H=Ha⋅H=H,所以 H H H是单位元
逆元： a H ⋅ a − 1 H = a a − 1 H = H ; a − 1 H ⋅ a H = a − 1 a H = H , aH·a^{-1}H=aa^{-1}H=H;a^{-1}H·aH=a^{-1}aH=H, aH⋅a−1H=aa−1H=H;a−1H⋅aH=a−1aH=H,所以 a − 1 H a^{-1}H a−1H是 a H aH aH的逆元
封闭性： ∀ a H , b H ∈ G / H , a H ⋅ b H = a h 1 b h 2 ∣ h 1 , h 2 ∈ H = a b h 1 h 2 ∣ h 1 h 2 ∈ H = a b h ∣ h ∈ H = a b H , \forall aH,bH\in G/H,aH·bH=ah_1bh_2|h_1,h_2\in H=abh_1h_2|h_1h_2\in H=abh|h\in H=abH, ∀aH,bH∈G/H,aH⋅bH=ah1​bh2​∣h1​,h2​∈H=abh1​h2​∣h1​h2​∈H=abh∣h∈H=abH,因为 a , b ∈ G , → a b ∈ G , a,b\in G,\rightarrow ab\in G, a,b∈G,→ab∈G,所以 a b H abH abH
结合性： ( a H ⋅ b H ) ⋅ c H = a b H ⋅ c H = a b c H ; a H ⋅ ( b H ⋅ c H ) = a H ⋅ b c H = a b c H (aH·bH)·cH=abH·cH=abcH;aH·(bH·cH)=aH·bcH=abcH (aH⋅bH)⋅cH=abH⋅cH=abcH;aH⋅(bH⋅cH)=aH⋅bcH=abcH

• 群同态：有两个群 ( G , ⋅ ) , ( G ′ , ∗ ) (G,·),(G',*) (G,⋅),(G′,∗), f f f是 G G G到 G ′ G' G′的一个映射，满足 f ( a ⋅ b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) , f(a·b)=f(a)*f(b), f(a⋅b)=f(a)∗f(b),称 f f f为 G G G到 G ′ G' G′的一个同态，记作 G ∼ G ′ G\sim G' G∼G′

单同态：如果 f f f是单射，那么 f f f是单同态
满同态：如果 f f f是满射，那么 f f f是满同态
同构：如果 f f f是双射，那么 f f f是同构

• I m ( f ) = f ( G ) = { f ( a ) ∣ a ∈ G } , I m ( f ) ≤ G , Im(f)=f(G)=\{f(a)|a\in G\},Im(f)\le G, Im(f)=f(G)={f(a)∣a∈G},Im(f)≤G,如果 I m ( f ) = G ′ Im(f)=G' Im(f)=G′,则 f f f是满同态；
• k e r ( f ) = { a ∣ a ∈ G , f ( a ) = e ′ } , k e r ( f ) ◃ G , ker(f)=\{a|a\in G,f(a)=e'\},ker(f)\triangleleft G, ker(f)={a∣a∈G,f(a)=e′},ker(f)◃G,如果 k e r ( f ) = { e } , ker(f)=\{e\}, ker(f)={e},则 f f f是单同态；

证明 k e r ( f ) ◃ G : ker(f)\triangleleft G: ker(f)◃G:
令 H = k e r ( f ) , H=ker(f), H=ker(f),则要证的就是 a H = H a , ∀ a ∈ G , aH=Ha,\forall a \in G, aH=Ha,∀a∈G,即 a H a − 1 ⊂ H aHa^{-1}\subset H aHa−1⊂H
f ( a H a − 1 ) = f ( a ) ∗ f ( H ) ∗ f ( a − 1 ) = f ( a ) ∗ e ′ ∗ f ( a − 1 ) = f ( a ) ∗ f ( a − 1 ) = f ( a ⋅ a − 1 ) = f ( e ) f(aHa^{-1})\\ =f(a)*f(H)*f(a^{-1})\\ =f(a)*e'*f(a^{-1})\\=f(a)*f(a^{-1})\\=f(a·a^{-1})\\=f(e) f(aHa−1)=f(a)∗f(H)∗f(a−1)=f(a)∗e′∗f(a−1)=f(a)∗f(a−1)=f(a⋅a−1)=f(e)
现在要求 f ( e ) f(e) f(e) 假设 a ∈ k e r ( f ) , a\in ker(f), a∈ker(f),
f ( a ⋅ e ) = f ( a ) ∗ f ( e ) f ( a ) = f ( a ) ∗ f ( e ) e ′ = e ′ ∗ f ( e ) f(a·e)=f(a)*f(e)\\ f(a)=f(a)*f(e)\\ e'=e'*f(e) f(a⋅e)=f(a)∗f(e)f(a)=f(a)∗f(e)e′=e′∗f(e)
对于 G ′ G' G′中的单位元 e ′ e' e′，任何数与单位元做运算都是该数本身，所以 f ( e ) = e ′ f(e)=e' f(e)=e′
故 f ( a H a − 1 ) = e ′ → a H a − 1 ⊂ k e r ( f ) = H , f(aHa^{-1})=e'\rightarrow aHa^{-1}\subset ker(f)=H, f(aHa−1)=e′→aHa−1⊂ker(f)=H,证毕。

群同态等价式 f = σ φ , f=\sigma\varphi, f=σφ,证明 σ \sigma σ是同构的

设 f : G → G ′ f:G\rightarrow G' f:G→G′是一个满同态， N = k e r ( f ) , N=ker(f), N=ker(f),则 G / N ≅ G ′ 。 G/N\cong G'。 G/N≅G′。即 σ \sigma σ为同构， f = σ φ 。 f=\sigma\varphi。 f=σφ。
证明：
要证 σ \sigma σ是同构的，即证同态+单同态+满同态。

• 同态：

因为 G / N = { g N ∣ g ∈ G } , φ : G → G / N , G/N=\{gN|g\in G\},\varphi:G\rightarrow G/N, G/N={gN∣g∈G},φ:G→G/N,即 φ ( g ) = g N ; f : G → G ′ , \varphi(g)=gN;f:G\rightarrow G', φ(g)=gN;f:G→G′,即 f ( g ) = g ′ , g ′ ∈ G ′ ; σ : G / N → G ′ , f(g)=g',g'\in G';\sigma:G/N\rightarrow G', f(g)=g′,g′∈G′;σ:G/N→G′,即 σ ( g N ) = g ′ , g ′ ∈ G ′ 。 \sigma(gN)=g',g'\in G'。 σ(gN)=g′,g′∈G′。所以我们定义 σ ( g N ) = f ( g ) , g ∈ G 。 \sigma(gN)=f(g),g\in G。 σ(gN)=f(g),g∈G。
σ ( a N ⋅ b N ) = σ ( a b N ) = f ( a b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) = σ ( a N ) ∗ σ ( b N ) \sigma(aN·bN)=\sigma(abN)=f(ab)=f(a)*f(b)=\sigma(aN)*\sigma(bN) σ(aN⋅bN)=σ(abN)=f(ab)=f(a)∗f(b)=σ(aN)∗σ(bN)

• 单同态：要证单同态，即证 k e r ( σ ) = e = N ker(\sigma)={e}=N ker(σ)=e=N(因为 G / N G/N G/N的单位元为 N N N)。

对任意 a N ∈ k e r ( σ ) , aN\in ker(\sigma), aN∈ker(σ),有 σ ( a N ) = f ( a ) = e ′ , \sigma(aN)=f(a)=e', σ(aN)=f(a)=e′,故 a ∈ k e r ( f ) = N , → a N = N , a\in ker(f)=N,\rightarrow aN=N, a∈ker(f)=N,→aN=N,故 k e r ( σ ) = N ker(\sigma)=N ker(σ)=N

• 满同态：要证满同态，即证 I m ( σ ) = G ′ Im(\sigma)=G' Im(σ)=G′，对 ∀ a ′ ∈ G ′ , \forall a'\in G', ∀a′∈G′,有 σ ( a N ) = a ′ \sigma(aN)=a' σ(aN)=a′

对于 G ′ G' G′中任意元素 a ′ a' a′,由于 f f f是满同态，有 f ( a ) = a ′ f(a)=a' f(a)=a′存在，所以有相应的 a N aN aN存在，即 σ ( a N ) = a ′ \sigma(aN)=a' σ(aN)=a′,所以 σ \sigma σ也是满同态。