群同态与同构
群同态
\(f:(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)，
f(g_{1}\cdot g_{2})=f(g_{1})\triangle f(g_{2})\)
定义名称：
\(f\)为单射 \(\rightarrow\)单同态
\(f\)为满射 \(\rightarrow\)满同态
\(f\)为双射 \(\rightarrow\)同构
性质
单位元具有唯一性且单位元具有对应性:
\(f\left(e_{1}\right)=f\left(e_{1}^{2}\right)=f\left(e_{1}\right) \Delta f\left(e_{1}\right)\)
引理
\(f:(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)\)
则\(Kerf =\{e\}\rightarrow f\)为单同态
\(Imf = \{f(g)|g \in G\}\rightarrow f\)为满同态
群同构基本定理
\(f :G\rightarrow H\)
\((G,\cdot)\rightarrow (H,\triangle)\)
\(\frac{G}{Kerf}\cong Imf\)
\(\left\{Kerf=g|f(g)=e_{H}\right\} \quad and \quad Imf=\left\{f(g)|g \in G \right\}\)
首先这个定理很直观，如果商集比较熟悉的话，一眼就可以看出来这个定理其实，对于\(Kerf\)的话，对应值域的\(e\),商掉\(Kerf\)的话，剩下的其实就是\(Imf\)
证明的话需要证明映射的良序性，单射和满射
证明：
\(\varphi:G \big/Kerf \rightarrow Imf\)
群第一同构定理：\(H\big/(H \cap K) \cong HK\big/K\)
群同构第二定理
\(G \big/ H \cong (G\big/K)\bigg/(H\big/K)\)