矩阵论作业13,14,15讲

• $(A^H)^+=(A^+)^H$(AH)+=(A+)H
  证明：
  $\{1\}逆：A^H(A^+)^HA^H=(AA^+A)^H=A^H${1}逆：AH(A+)HAH=(AA+A)H=AH
  $\{2\}逆：(A^+)^HA^H(A^+)^H=(A^+AA^+)^H=(A^+)^H${2}逆：(A+)HAH(A+)H=(A+AA+)H=(A+)H
  $\{3\}逆：(A^H(A^+)^H)^H=((A^+A)^H)^H=(A^+A)^H=A^H(A^+)^H${3}逆：(AH(A+)H)H=((A+A)H)H=(A+A)H=AH(A+)H
  $\{4\}逆：((A^+)^HA^H)^H=(A(A^+)^H)^H=(AA^+)^H=(A^+)^HA^H${4}逆：((A+)HAH)H=(A(A+)H)H=(AA+)H=(A+)HAH
• $(A^HA)^+=A^+(A^H)^+$(AHA)+=A+(AH)+
  证明：
  $\{1\}逆：A^HAA^+(A^H)^+A^HA=A^HAA^+(A^+)^HA^HA=A^HAA^+(AA^+)^HA=A^HAA^+(AA^+)A=A^HA${1}逆：AHAA+(AH)+AHA=AHAA+(A+)HAHA=AHAA+(AA+)HA=AHAA+(AA+)A=AHA
  后面证明省略啦
  
  

1. $H^3H=HHH\ H(前三个可运用\{1,2\}逆性质)=H^2,$H3H=HHH H(前三个可运用{1,2}逆性质)=H2,认真看就能看出来
   
   证明难点：
   证明（1）：
   $P^2=(P_1+P_2)^2=P_1^2+P_1P_2+P_2P_1+P_2^2=P_1+P_1P_2+P_2P_1+P_2$P2=(P1​+P2​)2=P12​+P1​P2​+P2​P1​+P22​=P1​+P1​P2​+P2​P1​+P2​,则$P_1P_2+P_2P_1=0$P1​P2​+P2​P1​=0
   $P_1P_2+P_1P_2P_1=0$P1​P2​+P1​P2​P1​=0
   $P_1P_2P_1+P_2P_1=0$P1​P2​P1​+P2​P1​=0
   两式相减可得：$P_1P_2-P_2P_1=0$P1​P2​−P2​P1​=0,和$P_1P_2+P_2P_1=0$P1​P2​+P2​P1​=0联立可得：$P_1P_2=P_2P_1=0$P1​P2​=P2​P1​=0
   后面的证明方法类似