矩阵理论 第二讲 线性子空间

第二讲 线性子空间

 

一、线性子空间的定义及其性质

1. 定义：设V₁是数域K上的线性空间V的一个非空子集合，且对V已有的线性运算满足以下条件
   1. 如果x、yV₁，则x＋yV₁；
   2. 如果xV₁，kK，则kxV₁，

   则称V₁是V的一个线性子空间或子空间。

2. 性质：（1）线性子空间V₁与线性空间V享有共同的零元素；

（2）V₁中元素的负元素仍在V₁中。

[证明]（1）0

    V中的零元素也在V₁中，V₁与V享有共同的零元素。

（2）

（－1）x=(－x) 封闭性

V₁中元素的负元素仍在V₁中

1. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间

平凡子空间：{0}和V本身

非平凡子空间：除以上两类子空间

4. 生成子空间：设x₁、x₂、···、x_m为V中的元素，它们的所有线性组合的集合

也是V的线性子空间，称为由x₁、x₂、···、x_m生（张）成的子空间，记为L(x₁、x₂、···、x_m)或者Span(x₁、x₂、···、x_m)。

若x₁、x₂、···、x_m线性无关，则

dim{L(x₁、x₂、···、x_m)}=m

5. 基扩定理：设V₁是数域K上的线性空间Vⁿ的一个m维子空间，x₁、x₂、···、x_m是V₁的一个基，则这m个基向量必可扩充为Vⁿ的一个基；换言之，在Vⁿ中必可找到n-m个元素x_m+1、x_m+2、···、x_n，使得x₁、x₂、···、x_n成为Vⁿ的一个基。这n-m个元素必不在V₁中。

 

二、子空间的交与和

1.定义：设V₁、V₂是线性空间V的两个子空间，则

分别称为V₁和V₂的交与和。

2.定理：若V₁和V₂是线性空间V的两个子空间，则，V₁＋V₂均为V的子空间

[证明]（1）

是V的一个线性子空间。

（2）

是V的子空间。

1. 维数公式：若V₁、V₂是线性空间V的子空间，则有

dim(V₁+V₂)+ dim(V₁V₂)= dimV₁+ dimV₂

[证明] 设dimV₁=n₁, dimV₂=n₂, dim(V₁V₂)=m

需要证明dim(V₁+V₂)＝n₁＋n₂－m

设x₁、x₂、···、x_m是V₁V₂的一个基，根据基扩定理

存在1）y₁、y₂、···、y_n1－mV₁，使x₁、x₂、···、x_m、y₁、y₂、···、y_n1－m成为V₁的一个基；

2）z₁、z₂、···、z_n2－mV₂，使x₁、x₂、···、x_m、z₁、z₂、···、z_n2－m

成为V₂的一个基；

考察x₁、x₂、···、x_m、y₁、y₂、···、y_n1－m、z₁、z₂、···、z_n2－m，

若能证明它为V₁+V₂的一个基，则有dim(V₁+V₂)＝n₁＋n₂－m。

成为基的两个条件：

1. 它可以线性表示V₁+V₂中的任意元素
2. 线性无关

显然条件1）是满足的，现在证明条件2），采用反证法。

假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数k₁、k₂、···、k_m、p₁、p₂、···、p_n1－m、q₁、q₂、···、q_n2－m使

令，则

但

根据基扩定理 ， x₁、x₂、···、x_m、y₁、y₂、···、y_n1－m成为V₁的一个基

同理：

这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V₁+V₂的一个基。

    dim(V₁+V₂)＝n₁＋n₂－m

 

三、子空间的直和

1. 定义：设V₁、V₂是线性空间V的子空间，若其和空间V₁+V₂中的任一元素只能唯一的表示为V₁的一个元素与V₂的一个元素之和，即，存在唯一的、，使，则称为V₁与V₂的直和，记为

子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是

，

反映的是两个子空间的关系特殊。

2. 定理：如下四种表述等价

（1）成为直和

（2）

（3）dim(V₁+V₂)=dimV₁+ dimV₂

（4）x₁、x₂、···、x_s为V₁的基，y₁、y₂、···、y_t为V₂的基，则x₁、x₂、···、x_s、y₁、y₂、···、y_t为的基

[证明]（2）和（3）的等价性显然

采用循环证法：（1）（2）（4）（1）

（1）（2）：已知＝

假定且，则

，，，，

说明对0元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立，在中只能存在0元素，即

 

（2）（4）：已知

成为基的两个条件：

1. 可以线性表示V₁+V₂中的任意元素

2）线性无关

、，存在如下坐标表示式

    可表示V₁+V₂中的任一元素，

x₁、x₂、···、x_s、y₁、y₂、···、y_t可表示V₁+V₂中的任意元素。

假设x₁、x₂、···、x_s、y₁、y₂、···、y_t线性相关，即存在不全为0的 使

＝0

而

＝－y

＝0

同理

这与其线性相关性矛盾，x₁、x₂、···、x_s、y₁、y₂、···、y_t线性无关

x₁、x₂、···、x_s、y₁、y₂、···、y_t可作为的基

 

（4）（1）：已知（4）成立

在x₁、x₂、···、x_s、y₁、y₂、···、y_t这组基下

存在唯一的坐标使

x＝

    成为直和

作业：P25－26，11、12、13