矩阵论

一、线性空间与线性变换

1 线性空间

涉及两个概念，集合与数域
数域 在抽象代数中，数域是指至少包含0和1的数集，在该集中进行数的和差积商的运算是封闭的
线性空间定义： 设$V$V是一个非空集合，其中的元素称为向量，F是数域，其中的数称为纯量。

1. 在$V$V中定义一种运算，称为加法，使得对任意的向量$\alpha,\beta \in V$α,β∈V，有$\alpha+\beta\in V$α+β∈V
2. 在$P$P与$V$V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对$V$V中任意元素$\alpha$α和$P$P中任意元素$k$k，都按某一法则对应$V$V内惟一确定的一个元素$k\alpha$kα，称为$k$k与$\alpha$α的积
3. 加法满足以下四个条件：

• 交换律
• 结合律
• 存在零向量0$\in V$∈V，$\forall\alpha\in V$∀α∈V,$\exists \alpha_0 \in V$∃α0​∈V使得$\alpha+\alpha_0=\alpha$α+α0​=α，记$\alpha_0=$α0​=0
• 负元素存在 $\forall\alpha\in V$∀α∈V,$\exists \beta \in V$∃β∈V，使得$\alpha+\beta=$α+β=0，记$\beta=-\alpha$β=−α

4. 数量乘法满足以下四个条件

• 结合律
• 分配率（此处两个）
• $1·\alpha=\alpha$1⋅α=α
  　　此时称$V$V是数域F上的线性空间

2 子空间

设$W$W是线性空间$V_n(F)$Vn​(F)的非空集合，则$W$W是$V_n(F)$Vn​(F)的子空间的充要条件是：

1. 若$\alpha,\beta\in W$α,β∈W，则$\alpha+\beta\in W$α+β∈W
2. 若$\alpha\in W,k\in F$α∈W,k∈F，则$k\alpha\in W$kα∈W

3 内积空间

定义了内积的线性空间

4 同一空间上的线性变换

 　　设$V_n(F)$Vn​(F)是一个线性空间，若有$V_n(F)$Vn​(F)上的对应关系$T$T，使$\forall \alpha \in V_n(F)$∀α∈Vn​(F)都有确定的向量$\alpha^{'}=T(\alpha)\in V_n(F)$α′=T(α)∈Vn​(F)与之对应，则称$T$T为$V_n(F)$Vn​(F)上一个变换，如果$T$T对加法和数乘封闭，则称称$T$T为$V_n(F)$Vn​(F)上一个线性变换

5 线性空间$V_n(F)$Vn​(F)到线性空间$V_m(F)$Vm​(F)的线性变换

6 线性空间的同构

映射

• 单射(injection):每一个x都有唯一的y与之对应
• 满射(surjection):每一个y都必有至少一个x与之对应
• 双射(又叫一一对应,bijection): 同时满足单射与满射，也就是常见的函数映射
  

二、矩阵的标准形

1 Jordan标准形

形如
$J(\lambda)=\begin{bmatrix}{\lambda}&{1}&{}&{}\\{}&{\lambda}&{1}&{}\\{}&{}&{\ddots}&{1}\\{}&{}&{}&{\lambda}\end{bmatrix}$J(λ)=⎣⎢⎢⎡​λ​1λ​1⋱​1λ​⎦⎥⎥⎤​
的$r$r阶方阵成为一个$r$r阶Jordan块，其中$\lambda$λ可以是实数，也可以是复数。由若干个Jordan块$J_i(\lambda_i)$Ji​(λi​)构成的准对角矩阵
$J=\begin{bmatrix}{J_1(\lambda_1)}&{}&{}&{}\\{}&{J_2(\lambda_2)}&{}&{}\\{}&{}&{\ddots}&{}\\{}&{}&{}&{J_m(\lambda_m)}\end{bmatrix}$J=⎣⎢⎢⎡​J1​(λ1​)​J2​(λ2​)​⋱​Jm​(λm​)​⎦⎥⎥⎤​
称为Jordan矩阵
定理： 在复数域上，每个n阶方阵A都相似于一个Jordan矩阵，即存在可逆矩阵P，使得
$P^{-1}AP=J_A$P−1AP=JA​
求Jordan标准形： 借助于Smith标准形，初等因子
 　　通过初等变换化A的特征矩阵$\lambda E-A$λE−A为Smith标准形，求出不变因式后，再计算出初等因子，就可以得到与n阶矩阵A相似的Jordan标准形。

2 化零多项式与最小多项式

解决A的矩阵多项式的问题

三、矩阵分解

1 三角分解LU、LDV

借助于高斯消元法实现，用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求逆矩阵，和求解联立方程组，分解不唯一

2 满秩分解

分解不唯一

3 谱分解

4 SVD分解

SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩

四、矩阵的广义逆

五、矩阵分析