标题 为什么会有模态逻辑的S1-S5? 刘易斯逻辑之五
为什么会有模态逻辑的S1-S5? 刘易斯逻辑之五
这个世界，自从有一批自由人去做那些不识人间烟火的符号探究，这大概就把人和动物给区分开了。人们为什么要去研究符号？既不能生财，也不能升官，好像也出不了什么风头。有什么魔幻诱使人们在文字符号上下功夫的呢？一种解释是因为有那么一个闲暇的阶层，他们有大把时间奉送给这个虚无飘渺之乡。还有一种解释是这个社会出现了教育这个行业。有了教育，你就得传授知识给受教育的人，而知识一定是用文字符号来构造的。
但两种解释好像都没有说到点子上。究其根本，还是这符号文字之中，蕴藏着也许是来自宇宙深处的智慧、门道和理数，不是智者登录不了这个符号文字的殿堂。这当然就能够打动一些精灵去闯荡这个魔宫，在他们寻求宇宙智慧的同时，还能够让自我来一个超越性的价值实现的机会。退一步说，即使实现不了这种超越，这个探究的过程也值得去体验。
这个世界中的蠢人太多，自诩顶层安排的那些土博士假博士，那些上边拿钱下边忽悠的文臣武将，明明都是些自家的糊涂算计，却能够算计忽悠芸芸众生，还能够玩芸芸众生于股掌之中。叹乎哉，且悲乎哉也。
幸亏还有这个不食人间烟火的符号文字研究，它也许拯救不了人的愚蠢，但至少让不少人能够知道，什么是智慧，什么是愚蠢？什么是理数和世道，什么是自欺而且欺人？
纯粹的符号文字研究的主要学科自然是数学和逻辑，数学研究数符号，逻辑则研究概念、命题与推理，一种不同于数，但却与数相通的符号文字。上一篇，我们谈到罗素的逻辑是外延的逻辑，刘易斯的严格蕴涵则试图研究与外延逻辑不大相同的内涵逻辑，这个逻辑就成为了现代模态逻辑的起点。刘易斯的S1-S5，由此而成为现代模态逻辑的经典系统。
何以出现S1-S5的五个系统呢？得先从刘易斯的回归常识蕴涵的想法谈起。
标题一、蕴涵的常识性含义
在刘易斯《符号逻辑》一书中，刘易斯以附录2的形式来阐释他的系统结构。对于这个系统的初始刻画，则是从该书的第五章开始，他引入了一种不同于实质蕴涵的常识性蕴涵观念，这就是严格蕴涵。
当我们说一个命题p，蕴涵另一个命题q的时候，命题p和命题q之间的关系就等同于：我们从命题p演绎地推出了命题q。这非常接近于布尔代数中“a包含于b”的含义，细心的读者会有感觉，当a和b之间有了这个包含于关系之后，a的成员就一定是b的成员，这类似于演绎地推出，但构成b的成员却不一定是a的成员。符号a和b表示的是类，相当于自然语言中的词项，显然就是在表述词项外延间的关系，与词项的意义几无相关。所以，布尔的逻辑运算，是抽象掉语词意义，也就是抽象掉语词内涵的外延运算。
布尔代数现在用到命题领域了，皮尔斯引入的那个“包含于”关系，作为理解实质蕴涵的一种方式，被移用到了条件命题，其后又用在罗素的经典命题演算PC之中。这个“包含于关系“，用在词项之间好像没有产生什么迷惑。但移用到表示命题之间的关系，立刻就产生那个著名的：“实质蕴涵怪论“。
仔细地揣摩就可以感觉到，当我们说“一个p命题蕴涵另一个q命题”的时候，p、q这两个命题之间，除了可能有真值关系之外，我们还能感觉到有一种意义或者内涵之间的沟通。至少我们的常识性蕴涵，不会认为下述命题：“如果伦敦不在英国，那么，月亮是绿奶酪做成的“，这会被人看作为一个正常的蕴涵命题。刘易斯认为，一个符合常识的蕴涵式，应该是，条件命题的前后件之间一定有某种内涵上的联系。这就如同古希腊人经常使用的条件句实例，”如果天下雨，那么地上湿“那样。”天下雨“和”地上湿“这两个命题之间，一定有某种意义上，属性上，也就是内涵上的联系。
这似乎恰好与词项外延间关系相反，当外延间关系是a包含于b的时候，一个蕴涵式关系“p蕴涵q”，则是在前的p在意义和内涵上要包含在后的q命题。这正好对应了古典逻辑有关内涵与外延间的反变关系，一个词项的内涵越少则外延越大，一个词项的内涵越丰富，则外延越小。但这个反变关系似乎只适用于词项，对于命题好像不那么实用。因为词项没有真值属性，命题才有真值。那么，命题除了真值的属性之外，它在意义和内涵的意味上，我们可以琢磨点什么东西出来呢？
内涵与外延的反变关系
面对词项和命题之间的这种差异，于是，刘易斯开始了苦思冥想。他和那个苏格兰数学家麦克考尔一样，想到了模态概念“可能“。刘易斯似乎比麦克考尔想得更多，他还想到了另一对逻辑上经常使用的观念：一致性和独立性。沿着这个思路继续前行，刘易斯进而想到一些与实质蕴涵相关的连接词。例如，一个”p实质蕴涵q”的否定，被他设想为”q独立于p”。而“p并不实质蕴涵q的假”，被他设想为“p一致于q”。那么这里的一致性是个什么东西呢？刘易斯把“一致性”这个观念，又和“可能”这个哲学观念联系起来。他用“可能性”来阐释那个“一致性”观念，简单地说，一致性类似于可能性，它既有自身的一致性，也有不同命题之间的一致性。
这样一个基本蓝图就为发展一种新的命题演算，一种依据蕴涵的常识性意义来建构的演算，提供了基础构件。这种依据常识性来理解的蕴涵，刘易斯称之为“严格蕴涵”。命题之间的这种关系，自然就称之为“严格蕴涵关系”。依照这种关系建立的逻辑系统，也就称作“严格蕴涵演算系统”。
标题二、严格蕴涵系统的进化
知识总是个体创造的，所谓群体创造历史，不过是用来忽悠蠢人也忽悠自身的宣传而已。但一个系统想法，它被接受为学界公认的经典知识，则是不同个体智慧在广阔时空领域下的奇妙集成。这大概和市场经济那只著名的看不见的手一样，无数个体的智慧，终会集成为一个合力，共同造就人类知识的进化。
刘易斯1918年出版的《符号逻辑概览》，从第五章开始，给出了不同于实质蕴涵的“严格蕴涵系统”，首先是它的初始观念和初始命题。再经过多年的研讨打磨，可以表述为以下三套公设集合。
1、系统的三套公设集合
刘易斯在该书中给出了严格蕴涵系统的8个公设，他称之为公设的A集合。但这个A集合很快就被另一个学者E L Post指出了错误，知错就改，原有的知识就前进了一步。于是就有公设A集合基础上，在《符号逻辑》1932年版上第五章给出的公设B集合，这个B公设集合有9个公设。
事情还没有完，1930年O.贝克教授撰文建议，还应该增加一些公设，以合理处置某些特别的模态函项，这些公设刘易斯称之为C公设集合，其中的C12，贝克教授称之为“布劳威尔公理”，一个著名的有关现代数学与逻辑的直觉主义公理。
这三个公设集合ABC的不同运用，就成为区分严格蕴涵系统，S1-S5的一个标准。
2、系统的五个矩阵式真值表
不仅仅是公设集合的进化，在给系统的运算符号予以矩阵式真值刻画的过程中，也体现出不同学者的贡献。系统的公设集合构成了刘易斯严格蕴涵的句法学，以下的矩阵真值表方法，则构成了刘易斯系统的语义学。
刘易斯严格蕴涵系统中的五个矩阵真值表
以上矩阵1，矩阵4和矩阵5归之于哈佛大学W.T.Parry博士，他也独立地发现了矩阵2和矩阵3。而另两位博士,一位是来自波兰华沙大学的M.Wajsberg博士，他论证了，矩阵真值定义表也许有无数个，它们都可以满足严格蕴涵给出的那些公设。另一位哈佛大学博士P.Henle则论证了，任意的一个矩阵真值定义表都能够既满足布尔施罗德代数，又满足严格蕴涵系统，只要我们把◇p定义如下：
◇p=1，当且仅当p≠0，
◇p=0，当且仅当p≠1，
这个真值的多值定义，真还有点意思。它无意之中似乎告诉了我们另一种证明命题公式的证明方法，一种不同于通过公理和推理规则来证明命题公式的方法。这个方法最早的提供者，应该是我们多次提及的皮尔斯和施罗德。（参见卢卡西维奇《亚里士多德的三段论》第205页）。
这个真值表的证明方法，大概就是研究符号和符号之间意义的语义学领域。当我们把一个公式，无论是经典逻辑的公式，还是严格蕴涵系统的模态公式，用真值表一一赋值的时候，赋值的结果全部为真，这就表明，这个公式得到了证明。所有得到语形证明的公式，都一定是全部赋值为真的重言式。
标题三、S1-S5，形形色色的逻辑关系，逻辑和哲学的融和
依据以上提到的三组公设集合和五个矩阵真值表，我们就有了不同于实质蕴涵的一个新蕴涵系列。刘易斯后来比较成熟的想法是，这个系列将有一个不断增进其严格性，不断增进其全面性的递进式风格。而且，这个系列将展示蕴涵这种表达式，能够展示出来的各种各样的逻辑关系。
于是，在《符号逻辑》一书中，首先构建的是S1，刘易斯称之为“普遍推理演算”。
然后，是给S1增加公理形成S2，刘易斯称之为“一致性演算”。
接着，是给S2增加公理形成S3，这被称为关于不可能性的逻辑系统。
更进一步，再给S3增加公理，由此形成了S4，因而有了所谓正规模态逻辑系统。
最后，给S4增加公理，形成了S5。
而S1-S5的每一个系统，又都因其基本模态公理，即所谓特征公理，而呈现各自独有的逻辑关系。这在后面具体讨论刘易斯的每个S的时候，我们再来评说。
模态中形形色色的逻辑关系
布尔用他的全无两类，加上逻辑化的算术运算，逻辑似乎从哲学的怀抱里挣脱了出来，与数学从此就结上了不解之缘。而刘易斯用他的严格蕴涵，用苏格兰人麦克考尔在逻辑之中曾经设想过的可能模态，把逻辑似乎又回归到哲学。哲学的观念竟然也可以表现在逻辑之中，还可以进一步承继布尔的数学传统。
这人类知识之奇之妙，其魅力之无穷可见一斑。
那么，刘易斯的S1究竟是个什么样的逻辑呢，且待下篇分解。