标题 为什么会有模态逻辑？C.I.刘易斯逻辑之三
近代100多年，也许是人类历史上，进化最为迅速的100多年。这进化的节奏从慢到快，进化的品质则不断地提升，时不时会让你惊诧嗟讶一番。人类个体的平均寿命，人类的活动范围，人类的货币，人类的智慧水准等等，随处都可以看到这种与日俱增的提升。经济如此，政治如此，作为社会先声的科学人文更是如此。
人类寿命进化期待
有文字符号来协助自身思考和实践的人类物种，不断地借助天赋之人的神奇符号，借助对于这些神奇符号的数学分析和逻辑分析，让我们这个原先以基本物质资料为生活依托的自然物种，实现了一次次跨世纪的超越。而到了近代，仅仅花费一个多世纪的信息探索，人类社会就从农耕时代，转换为一个主要依赖信息来满足社会需求的信息数码时代，数码信息在今天，仿佛就是一个具有生命特征的超级品类似的。
神奇的符号
符号、信息和智慧，似乎是比财富、权力和血统更为重要的东西。我们哪里只是一个现实社会的存在？当下我们的存在，似乎是既有必然，但还有更多的可能，如同模态先驱麦克考尔设想过的，那个超越绝对真，也超越绝对假的可能。
德国的莱布尼兹在设想普遍语言符号的时候，把算术的加法引进逻辑，由此而有了逻辑加，这个设想的时间在17世纪的晚期。100多年以后，英国的布尔给代数设想了“全类”和“无类”，也把算术的运算符号引进逻辑，由此而有了布尔代数。布尔的这个贡献，发生在19世纪的中期。再过不到半个世纪，美国的皮尔斯为布尔的逻辑代数引入“包含于关系”，现代逻辑也就初具规模。皮尔斯，还有德国学者弗雷格等人的贡献，都在19世纪的晚期。嗣后，这个进化的节奏就明显加快。差不多就是一代人的时间之隔，罗素与怀特海合著的《数学原理》相继问世，那是在20世纪的初期。而现代逻辑，大概以这本书为标志，在20世纪之初，成了一门成熟而且富于生命力的现代性学科。
字符节律跳动之快令人惊讶，就在标志现代逻辑诞生的《数学原理》一书首卷（1910）出版不久，另一门逻辑学科的分支，也在20世纪初叶宣告诞生（1914）。这个逻辑，就是美国学者C.I.刘易斯创立的模态逻辑。
模态逻辑
为什么会出现模态逻辑？上篇提到英国苏格兰人麦克考尔的奉献，他在他的逻辑构想中，用到了模态词“可能”和“不可能”，那是麦克考尔和罗素争论的结果。本篇也将是讨论一场争论，依然有罗素，但这是罗素与美国学者C.I.刘易斯之间，就实质蕴涵而进行的一场争论。也许可以说，正是这样一场有关实质蕴涵的讨论，催生了现代模态逻辑。
标题一、实质蕴涵合理么？
在布尔逻辑代数基础上建立的命题演算，简单地说，就是把布尔的类逻辑中的那个类元素，换成命题作为基本元素，再加上一个类似排中律的公设：对于任意命题，它要么真，要么假，二者必居其一。这样构成的一个演算，也叫做二值逻辑演算。
一个原子命题的值，只有真假两种可能性。
而一个复合命题的真值，虽然也是两种可能性，但构成复合命题至少得有两个原子命题，对这样的复合命题的真值判定，一下子就复杂了许多。由最少原子命题数，仅两个原子命题p和q构成的实质蕴涵命题p→q为例，p与q的真值组合就有四种情形，如果原子命题更多，那真值判定就更加复杂。
那么，我们如何来判定一个复合命题的真值呢？自然需要我们依据感觉来判定哪种情况下整个命题为真，哪种情况下整个命题为假。此前我们就说过，命题演算中的→，相当于布尔代数中的包含于关系。这个包含于不涉及到条件问题，一个类别的成员属于另一个类别成员之中而已。而变换为成为命题演算中的实质蕴涵→之后，一个p→q命题的真，按照我们的感觉常规，前件p真，后件q假，该蕴涵命题就是假命题。其余的三种组合情况，就全部成为真命题。这样一种理解，也就是罗素对于实质蕴涵的析取式（选言）定义：
p→q=∼p∨q
实质蕴涵的如此真值理解，它合理么？罗素一直都认为是合理的，但C.I.刘易斯却不这么看。布尔的类换成了命题的时候，命题就成了一个特殊的类，实质蕴涵的特性在类与类关系的布尔代数中，几乎就与类与类之间的关系没有什么相似的地方。
可以举一个简单的例子：
“狗”这个类不包含在“猫”这个类之中，这个关系式在布尔代数中是类与类之间的关系。由这个表达式，我们推不出：“狗”类包含在“非猫”类之中，或者说“非狗”类包含在“非猫”类之中，或者说“猫类”包含在“狗类”之中。
类与类之间的五种常见关系
而当类看作是命题时，用蕴涵式替代了包含于式，命题演算中的实质蕴涵p→q，却可以从否定一个蕴涵式，即∼（p→q）推出上述三个类似的复合命题：p→∼q，∼p→q，∼p→∼q。还可以推出一个逆蕴涵式：q→p。
罗素是用命题函项的概念来处理命题演算的，所以，他的命题演算也称作命题函项演算，这是命题演算的经典版，通常用PC缩写表示这个演算。
实质蕴涵这样一种蕴涵，在罗素那种处理方式之下，是对于蕴涵系统在一种外延意义上的建构。实质蕴涵在二值取其一的原则之下，有它的合理性。但是，刘易斯认为，蕴涵的这样一种解读，却几乎完全丢掉了我们自然语言中它的常态意义。罗素构造的外延性逻辑，把符号的意义或者说内涵给抽象掉了。
刘易斯也许是最早对罗素PC中的实质蕴涵定义，做出及时批评的美国学者。他在哈佛大学阅读了《数学原理》之后，于1912年，在英国《心灵》杂志发表《蕴涵与逻辑代数》一文，对实质蕴涵的罗素定义，提出了尖锐的批评。
二、C.I.刘易斯对蕴涵的内涵理解
脱离自然语言的常态意义去建构实质蕴涵的命题演算系统，仍然可能是一个合理的逻辑系统。这似乎用不着大惊小怪，因为纯粹的逻辑或者纯粹的数学，总是在标示着某种先天真理的存在，因为是先天的，自然也就具有高度的悬浮于实在之上的抽象性。于是我们看到，刘易斯对于罗素实质蕴涵的批评，除了从语言的常态角度之外，仍然没有超脱掉纯粹逻辑和纯粹数学的那种略带点神秘的抽象性。
实质蕴涵既然有外延的理解，也就有内涵理解的可能，刘易斯批评了罗素的实质蕴涵脱离了自然语言的常态理解。他从蕴涵的外延角度，转向蕴涵的内涵角度。但他不是直接从蕴涵式来着手分析，而是依据蕴涵的析取式定义来予以分析。在他的《蕴涵与逻辑代数》论文中，刘易斯集中论述这个有着实质蕴涵意义的析取式。
一个实质蕴涵看作是一个析取式∼p∨q，那么我们就来比较比较这几个析取式。因为罗素把实质蕴涵定义为析取式，刘易斯就把这种析取，称之为实质析取。
（1）或者凯撒死了，或者月亮是绿奶酪做成的。
（2）或者有人不喜欢我，或者有人喜欢我。
刘易斯分析这两个析取式，其中的（2）式要成为真的，必定其中有一个为真，所以，如果否定了其中的一个，你就得肯定另外一个。分析这种实质析取式，最有意义的一点是，
在知道哪一个析取支为真之前，（2）的真值就可以事先为人所知。也就是说，在事实上的真被判定之前，这个析取式的值就已经有了。这两个析取式，刘易斯认为：（1）是外延的析取，（2）是内涵的析取。
外延的析取实际上是罗素命题函项式的，你仅从支命题的真值情况，就可以断定整个析取式命题的真。这里不作赘述，且让我们把文字留给模态式，也就是内涵的析取式。
命题（2）属于内涵式的析取，那是因为，这类析取涵盖了所有的可能，所以，我们无需判定其中任意一个支命题的真，就可以断定整个析取式的真。这样的析取式，其实就是今天的重言式。但这种重言式概念，在刘易斯那个时代是否有？留给有兴趣的读者吧。
内涵与外延
一个内涵析取式，何以用内涵来修饰呢？刘易斯继续加以说明，他说，那是因为：
如果我们对这个内涵析取式予以否定，我们否定的并不是整个析取式，这个否定，是对析取关系本身的否定，实例命题（3）可以说明这一点。
（3）并非（约翰或者是天主教徒或者是清教徒）
这个否定析取式不可以读作，并非（约翰既不是天主教徒，也不是清教徒），而是要读作为，否定这些选项是仅有的选择，因为约翰还可以是犹太教徒。即使约翰是天主教徒，这个陈述依然可以是假的。因为否定的对象命题并没有穷尽所有的可能选项。内涵析取的否定由此就是，析取关系本身的否定，而不是对于其中某个选项的否定。用一个类似的说法，某人知道一个内涵析取为真，无需知道组成这个析取式的若干支命题的真或者假。也就是说，现代逻辑中的德摩根定律，对这种内涵析取式无效。（参见《刘易斯：最后一个实用主义者》第68页）
刘易斯的内涵析取式概念绝非清晰明白，但这个新概念的提出，衍生出一个新的蕴涵概念，这就是在实质蕴涵基础上的严格蕴涵。因为这个严格蕴涵新概念，一个新的逻辑系统，在罗素的《数学原理》问世之后不久，启动了它的生成。这个系统，就是刘易斯随后构建的严格蕴涵系统。
标题三、模态逻辑因为严格蕴涵系统而诞生
一旦有了这个析取式的内涵和外延之分，刘易斯所批判的实质蕴涵，就从批判对象转换成了可利用对象。定义还是罗素的那个实质蕴涵定义，符号也基本上留用，但定义的对象却换上刘易斯的命名。于是，我们还是使用原先的那个实质蕴涵符号公式（p→q），被定义的对象还是那个实质析取式∼p∨q，但在刘易斯那里，实质蕴涵改名为严格蕴涵，后面的那个实质析取式改名为内涵析取式。由此，
严格蕴涵的定义就是：p→q=∼p∨q
在1912年发表的《蕴涵与逻辑代数》一文的脚注中，刘易斯这样来说明严格蕴涵的概念。这也许是最早出现的有关严格蕴涵概念的说明，他说：我们可以称这类蕴涵为严格蕴涵，至少，这个蕴涵的意义比代数蕴涵的意义更为狭窄。
20世纪60年代的C.I.刘易斯
为什么这样一个严格蕴涵所构成的系统，是模态逻辑诞生的标志呢？因为该系统引入的一些基本观念，就包括了我们今天所说的基本模态，也就是麦克考尔那里还没有系统化的基本模态词，这个模态词在严格蕴涵系统那里就是“不可能”。而逻辑真值的范围从二值扩充为五值。
由于刘易斯的这个系统设想，差不多是在现代经典逻辑创立的同时，一门非经典的逻辑，不同于经典外延逻辑的学科也创建出来，它是对应于外延逻辑的所谓内涵逻辑。而刘易斯为这门逻辑建立的S1-S5系统，它们又属于这个非经典内涵逻辑中的5个经典。这5个系统中所强调的一些关系十分有趣，且待慢慢道来。2020/08/08