**## 标题 加粗样式外延、内涵和严格蕴涵系统S1-S5 刘易斯逻辑之四
模态逻辑这门逻辑学科，估计大多数非逻辑专业的人都会茫然而无所知。这门逻辑还有个名称，称作哲学逻辑。本世纪之初，许多学校的逻辑专业研究生刚刚开始这门课的时候，大多把这个模态逻辑称名为哲学逻辑。华南师大刚开始讲授这门课之时，就是这样称呼的。但恐怕习哲学的许多人，也对这个冠之以哲学名头的逻辑，如云中雾里，遥远模糊，朦胧混沌，真会一点感觉都找不到的。
这也难怪，中国人弄逻辑，大概自严复的《穆勒名学》和《名学浅说》开始，距今仅百余年矣。穆本于1905年在金陵金栗宅木刻出版，《浅说》本则在1909年由商务印书馆出版（参见宋文坚《逻辑学的传入与研究》第一章）。但这两本书，几乎和现代逻辑一点关系都没有。穆勒就不用说了，他那本书1843年在英国出版，那时候布尔的思想还在酝酿之中。英国人耶方斯虽然对现代逻辑也颇有贡献，但他的那本《浅说》出版于1876年，现代逻辑尚在襁褓之中。自然，他们的逻辑就都只是古希腊存留的经典。
严复之后，最有影响的恐怕就是人称金逻辑的金岳霖（1895-1984）先生了，金先生的那本经典教材，就以《逻辑》两字为名，也在商务印书馆出版，时间是1937年。但整本教材仍以亚氏三段论为主，罗素上世纪初在《数学原理》中构建的命题演算，仅在金本教材中略有评介。模态逻辑连提都没有提。
金先生和他的《逻辑》
但国内在20世纪的60年代初，已经有一些学者跟上了现代逻辑的发展步伐，这时候的模态逻辑，也早就成为现代逻辑的一部分。由于众所周知的原因，随后的逻辑研究与其它学科的研究一样，中断了至少一代人的时间。一直到上世纪的80年代末，才出现周礼全（1921-2008）先生的《模态逻辑引论》一书，周先生是金先生的学生。随后，人们对于现代逻辑的研究，也就从经典现代逻辑的视野，扩展到非经典现代逻辑的视野。
周先生和他的模态逻辑
如同现代逻辑出之于布尔的逻辑代数一样，模态逻辑源自于C.I刘易斯建构的S1-S5系统。那么，这个S1-S5是个什么东西呢？我将简略地阐释这稀奇古怪的五样逻辑何以诞生，然后依次序揭示这五个逻辑系统的不同意蕴。
标题一、外延的逻辑和内涵的逻辑
罗素的逻辑是外延的逻辑，那个实质蕴涵p→q，只依据前后件的真值来判断整个命题的真和假，这被刘易斯批评为背离常识，怪论荒唐。这个怪论之说，即逻辑史上著名的实质蕴涵怪论。最著名的实质蕴涵怪论是其中导出的两个定理，一个定理是“假命题蕴涵任何命题”，另一个定理是“真命题为任何命题所蕴涵”。
按照蕴涵的常识性含义，这两个定理的确有点怪诞。从假命题可以导出任何命题，不管这个导出的命题和这个假命题之间，有没有意义上的联系。这岂不是在说，所有的命题，无论真假，全都包含在假命题之中。果如此，那还需要什么追求真的冲动？而真命题被任何命题所蕴涵，那似乎是在说，无论命题是真还是假，都可以导出真命题。果如此，我们关于真的理解，岂不就乱了套？
外延逻辑如同刘易斯所批评的，好像得到的就是这样一些背离常识的荒唐定理。这种逻辑设想的，似乎是这样一个世界。所有可能的对象都是实在的，而所有真实的东西又都是必然的。这个世界除了必然和一切皆可能的实在，偶然没有它的位置。而实际上，我们对于所在世界的感觉，这个世界似乎到处都在呈现偶然。
由这个对于偶然的否定，“不可能”自然就和“假”具有完全相同，完全可以被“假”来替代的意义，那个康德给定的模态范畴“可能“和”必然“，就完全可以忽略不计，世界只剩下单独一个”存在“范畴。
说这样的定理荒唐，当然是因为，这是用超越这个世界情景的眼光，来看待这些实质蕴涵定理。当刘易斯用某种超越的视角来看待罗素的逻辑时，他似乎预见到某种不同于外延逻辑的东西。
C.I刘易斯的这种特异感觉，有点类似于科学史上几何学与物理学发展的路径。我们有处理欧几里得空间的欧式几何，接之就有处理非欧空间的非欧几何。同样，我们有处理三维空间的牛顿物理学，接之就有处理四维空间的爱因斯坦物理学。刘易斯处理罗素逻辑的方式，也许是，既然有处理外延的经典现代逻辑，接之自然就应该有处理内涵的另一种非经典的现代逻辑。只不过，从欧式几何到非欧几何，从牛顿空间到爱因斯坦空间，时间的距离可谓漫长悠远。现代的经典逻辑，在20世纪初叶才刚刚成为一门成熟的学科，却马上就出现超越现代经典逻辑的现代非经典逻辑的挑战，这个超越实在是来得太快。
人们还来不及消化刚刚诞生的现代经典逻辑，罗素与怀特海的《数学原理》才刚刚问世，一门挑战这种外延逻辑的新逻辑就露出了新芽。科学到了20世纪，似乎有了某种神助，加快了它的进化速度。不仅仅是逻辑学，20世纪的很多新学科的诞生，都来得出奇的快捷。稍不留意，你所具有的知识就有可能成为古典和收藏。
从实质蕴涵到严格蕴涵，简略地概括，就是扩展了罗素命题函项的观念，在命题函项的基础上提供了内涵的演算，使得现代经典逻辑提升为现代的非经典的逻辑。逻辑学家对于世界的二值理解，上升到了对于世界的多值理解。由这个二值到多值的扩展，似乎让我们审查这个世界的视角，从一元过渡到了多元，从绝对的形式联想，过渡到了既相对于形式，也相对于内容和意义的审查。
这套演算结构的基本概念，类似于麦克考尔在《符号逻辑及其应用》中提到的概念，它和罗素经典演算的最大差别，至少体现在以下三点。
第一点是：引入了模态范畴“不可能”，用∼表示，∼p意味着命题p是不可能的。再用这个“不可能”来定义“可能”，定义“必然”。
第二点是：真值增加到五个，1）真，2）假，3）不可能，4）可能，5）必然
1）命题p，表示p为真
2）命题─p，表示p为假
3）命题∼p，表示p不可能
4）命题─∼p，表示p可能
5）命题∼─p，表示p不可能不，也就是p必然。
可以感觉到，3）中那个“不可能”中的否定“不”，要比2）中表示“假”的那个否定“不”更强，有明显的语义差别。而5）中的“不可能不”，用来表示必然，那正是普通语言中“必然”的常规意蕴，“不可能不”不就是“必然”的直观意义么？在语义上好像比“必然“还要强。
为什么模态逻辑起初称为哲学逻辑，“可能”与“必然”这一对哲学范畴放在一套逻辑建构之中，不称哲学逻辑，你说应该称作什么？
第三点是：因为引入不可能模态，蕴涵就分成了两类。一类保留了外延逻辑的实质蕴涵，在这个基础上的关系，称之为实质关系。另一类就是因不可能模态而增加的严格蕴涵，在这个模态基础上的关系，则称为严格关系。这就自然地在实质蕴涵的基础上增加了一个新的蕴涵，刘易斯称之为“严格蕴涵“。
标题二、刘易斯的严格蕴涵
我们用一个容易打印的符号==>，而不是刘易斯后来使用的鱼钩符号，来表示刘易斯创立的严格蕴涵。如何理解这个严格蕴涵==>符号呢？在他与朗福德合著的《符号逻辑》一书中，该书1932年在美国出版，这个出版日期和金先生《逻辑》一书在商务印书馆出版的时期大抵相同，这个时段的耦合有点意思，暂且不表对这种耦合的感叹，还是回到严格蕴涵吧。刘易斯在《符号逻辑》一书中，有这样一段描述严格蕴涵的文字，刘易斯把这种蕴涵称作为一种关系。我们设I代表任意蕴涵关系，则pIy表示p蕴涵y，既可能是实质蕴涵，也可能是严格蕴涵。命题p==>q，则表示p严格蕴涵q。于是刘易斯说：
我们进一步看到，如果我们希望导出无论何时都成立的关系，自然是依据各种可能的蕴涵关系，还有，如果我们希望一个演绎推理可以有效地做成，那么，我们就应该在pIq为真和pIq是一个重言式这两者之间做出区分。当pIq为真，却不是重言式的时候，q可以从两个前提，p并且pIq，演绎地推导出来。但是，这仅仅因为“（p并且pIq）Iq是一个重言式。当pIq是一个重言式时，q可以从p演绎地推导出来。
这恰恰就是在严格蕴涵系统中，p==>q这个符号表达式所表达的严格蕴涵关系的逻辑意义。所有蕴涵关系的一个基本要求是：pIq必须在p为真和q为假的时候不成立。由此，为了表达“pIq”是一个重言式“，就需要给出一个关系R，这个关系R使得pRq将意味着：“p真并且q假，这样一种情形是逻辑上不可能的组合”。或者换一个等价的说法：“这是必然真的，在所有可构想的情境中它全都为真“。这样两种说法，实际上就是排除了p真且q假这样的情形。这样的表述，就是严格蕴涵p==>q的精确意义，它可以表述为以下一组用逻辑符号来陈述的等价式
严格蕴涵式：p==>q = ∼◇(p∧∼q) = ∼◇∼(∼（p∧∼q)）
（参见C.I刘易斯《符号逻辑》1932年英文版第244页）
上述等式中的三个符号串，
第一个p==>q读作p严格蕴涵q。
第二个等价于严格蕴涵的的∼◇(p∧∼q)，读作“不可能（p并且并非q）“
第三个等价于严格蕴涵的∼◇∼(∼（p∧∼q)），读作不可能不（并非（p并且并非q）。在后来的模态逻辑中，这里的不可能不=必然，所以，这个等价式也可以读作：“必然（并非（p并且并非q）“。
这样，在严格蕴涵系统中，就出现“可能“和”必然“这样的哲学模态。严格蕴涵的逻辑就呈现出了哲学的味道，而被称为哲学逻辑。后来，又有了它正式的学名，模态逻辑。
标题三、C.I.刘易斯的S1-S5
刘易斯自1913年提出严格蕴涵系统，经过多年的打磨和研讨之后，在1932年的,《符号逻辑》一书中，用附录形式把这个系统概括为S1-S5，这个S1-S5自然就成为最早的模态系统，也称作现代模态逻辑的五个经典系统。
这里的S其实就是系统的首字母。我们有了不同于实质蕴涵的严格蕴涵，把模态可能和必然引入了严格蕴涵系统，我们对真值有了更为宽泛的视野。那么为什么会出现这个S1-S5呢？这大概也是逻辑的魅力，我们得追随这逻辑的力量继续前行。探究这个奇怪的逻辑，也探究这有点奇怪的严格蕴涵逻辑系统S1-S5.。