实数和数列极限

1-1 数轴

定义数轴

数轴是一条有向直线

取定数轴上某一点为原点、在该点右方的直线上，隔任意长度取一点，记该点为一个单位，即为数轴上 $1$ 的位置。这段距离为单位长度。

定义开区间

用不等关系和数轴来定义开区间。设有不等式
$a<x<b$
该不等式确定了一个集合，该集合中元素X满足条件：位于a的右边并且位于b的左边。在数轴上找到两点分别表示 $a、b$ ，开区间即为：所有在 $a$ 右边并在 $b$ 左边的元素构成的集合。即上文我们定义的集合。

闭区间和半开半闭区间也能依靠不等关系和数轴类似定义。

定义绝对值

用数轴来定义绝对值

一个数的绝对值即为数轴上该数对应的点到原点的距离。

证明三角不等式：

对于任意实数 $x、y$ 有：
$-|x| \leq x \leq |x|$

$-|y| \leq y \leq |y|$

两式相加得：
$-(|x|+|y|) \leq (x+y) \leq (|x|+|y|)$
而此式即为
$|x+y| \leq ||x|+|y||$
的展开式。

证毕

数轴与有理数

我们已知，有理数可表示为两个整数之商的形式
$r= \frac{p}{q}$
我们又知道，有理数经过加减乘除四则运算后，结果仍是有理数。故有理数对于四则运算是封闭的。由此可知，有理数构成一个数域。

但是，有理数对于乘方等运算并不封闭。
$\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$
乘方运算的底数和幂均为有理数，但得到一无法用有理数表示的数。暂且不表。

对于每一个有理数，我们总能在数轴上找到表示它的点。

对于有理数

$r=\frac{p}{q}$
我们总能对数轴上的单位长度做 $q$ 等分，每份长度记做 $l$ ，因此，不难找出 $p$ 倍 $l$ 长度的点所在的位置，该处点即为有理数 $r$ 在数轴上的位置。

论证有理数的稠密性 (新)

对于上述 $p、q$ ，我们使 $q$ 固定，使 $p$ 取遍所有整数，即可作出无穷多个有理数，这无穷多个有理数将整个数轴分割。现任意作一实数 $x$ ,对于该实数 $x$ ,总能找到一个分割，使
$\frac{p}{q} \leq x < \frac{p+1}{q}$
两边同时减 $\frac{p}{q}$ 得：
$0 \leq x-\frac{p}{q} < \frac{1}{q}$
而此式即为：
$|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q}$
对于这个抽象的不等式，我们可以给出如下解释：

对于所有的实数 $x$ ,总可以找到一个有理数 $\frac{p}{q}$ ,使得 $x$ 与 $\frac{p}{q}$ 的值非常接近。因为 $q$ 是我们预先给定的，因此我们可以使这种接近程度变得非常大。

结论：每一个实数都能用有理数去逼近到任意精确的程度。有理数在数轴上是稠密的。

虽然有理数是稠密的，但是有理数并不能完全充满整个数轴。

实数和数列极限

有一论证：

设n $\in\mathbb{N^*}$ 且 $n$ 不是完全平方数，那么 $\sqrt{n}$ 就不是有理数。

实数和数列极限

结语：

数的产生和发展是由需要促成的，如果我们仅仅局限在有理数的范围之内，那么我们必须承认边长为 $1$ 的正方形的对角线是无法测量的。因此，我们必须扩展数域，引入无理数的概念。