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已知递推式\(a_{n+1}=f(a_n)\)求解数列极限
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在草稿纸上
先斩后奏：假设极限存在，然后尝试解出极限值为\(A\)； -
画出\(f(x)\)和\(x\)的大致图像(
初等函数都得会画)，找到交点的大致范围\((C_1，C_2)\)；在理论上初等函数的图像是都可以通过研究导数性质绘制出来的，但是如果函数较为复杂的时候，这种方法的
性价比就很低了，特别是面对有除式时。比较经典的引导如：\[\begin{aligned} 指数函数引导中值定理：f(x)-1，如e^x-1=e^x-e^0=e^\xi\cdot(x-0)； \\ 对数函数引导终止定理：f(x)-0，如\ln x-0=\ln x-\ln1=\frac{1}{\xi}\cdot(x-1)；\\\\ 对数中通分：\ln(\frac{f(x)}{\alpha(x)}\pm \frac{g(x)}{\beta(x)})=\ln(\frac{f(x)\beta(x)\pm g(x)\alpha(x)}{\alpha(x)\beta(x)})=\ln{分子}-\ln{分母}； \end{aligned} \]当然如果题目中突然给出我们一个点\(x_0\)的函数值为\(f(x_0)\)，然后表达式中有\(x-x_0\)的时候，这个时候不用中值定理未免也太辜负命题老师的良苦用心了。
所以我们面对有除式的复杂函数时，首先想想
中值定理，它能够将除式消除，构造出一个等式：\(g(a_{n+1})=h(\xi_n)\)，然后通过\(\xi_n\)的范围确定数列的界和单调性。最特殊的情况就是\(g=h\)且单调，这个时候\(a_{n+1}=\xi_n\)。然后我们就能够依据单调有界准则判断极限存在，再代入计算即可。 -
用
零点定理证明：在区域\((C_1，C_2)\)内\(F(x)=f(x)-x=0\)有唯一实根\(x=A\)； -
用
数学归纳法证明：\(x_n\in(C_1，C_2)\)，这样数列\(\{x_n\}\)就有界了； -
方程\(x=f(x)\)有解析解(可以得出实数\(A\)确切的值)
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求迭代函数\(f(x)\)的单调性
- 如果单调增，说明数列\(\{x_n\}\)是单调数列，增或减看前两项关系；
- 如果单调减，说明数列\(\{x_n\}\)没有单调性，转(6)改用
定义法证明；
关于构造
迭代函数与数列极限的关系的补充说明： -
这时\(\{x_n\}\)
单调有界，则极限必存在，将草稿纸上的步骤搬下来；
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方程\(x=f(x)\)无解析解(以我们现有能力解不出)
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用
拉式中值定理：\(|x_{n+1}-A|=|f(x_n)-f(A)|=|f^{(1)}(\xi_n)|\cdot|x_n-A|\)； -
证明\(\forall \xi\in(C_1，C_2)，|f^{(1)}(\xi)|\le k\lt1\)；
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\(0\le|x_{n+1}-A|=\prod_{i=1}^{n}|f^{(1)}(\xi_i)|\cdot|x_1-A|\le k^n|x_1-A|\)；
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用
夹逼定理得：\(\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}|x_{n+1}-A|=0\)，所以\(\{x_n\}\)的极限就是\(F(x)=0\)的根；
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已知递推式\(a_{n+1}=f(a_n)\)求解数列函数\(\Gamma\large(\normalsize{\{\gamma_i;\}_n}\large)=\Gamma_n\)的极限
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\(g、h、\gamma\)映射代表着什么？
在\(\Gamma\)中每一项元素是\(g(a_i)\)，需要用
递推式的恒等变形推出：\(g(a_n)=\gamma\large(\normalsize{h(a_n)，h(a_{n+1})}\large)=\gamma_n\)。\(\gamma\)表示了一个能
将aₙ和aₙ₊₁分开，让其独立平等且拥有相同的h映射的映射。最经典的莫过于裂项相消和累乘法，前者是构造的减法，而后者则是构造出除法。 -
\(\Gamma\)映射代表着什么？
而\(\Gamma\)则代表将所有的\(\gamma\)用一种映射关联起来，这种映射作用于前一项\(\gamma_{n-1}\)的后一项\(h(a_n)\)上(带有\(\gamma\)映射的运算符)，所以一般是与\(\gamma\)
相反的映射。比如当\(\Gamma\)映射是“加法”时，\(\gamma\)映射就是“减法”；当\(\Gamma\)映射是“乘法”时，\(\gamma\)映射就是“除法”；当\(\Gamma\)映射是“指数”时，\(\gamma\)映射就是“对数”；……； -
等式恒等变形？
太复杂了我真不知道怎么说，只能靠\(\Gamma\)来推测出\(\gamma\)，而且只能靠经验试验出\(h\)。
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如果推不出\(\gamma\)映射咋办？
上面只是假设推得出，真要是推不出那就说明中间项是抵消不掉的，形式上就和
无穷多无穷小量相加一致了，这时我们可以用递推式推出通项，然后用夹逼准则。但是我很少在考研中遇到这种有递推式但是不用恒等变形，反而考察高中数学通递转换的题
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