如何理解数列极限和收敛性

如何理解数列极限和收敛性

数列极限说来其实都不陌生，但往往到了高数的这段内容的时候许多人就会觉得非常头疼了。

定义：设 $\left\{x_{n}\right\}${xn​} 为一数列,如果存在常数 $a$a, 对于任意给定的正数 $\varepsilon$ε ( 不论它多么小 )，总存在正整数 $N$N, 使得 当 $n>N$n>N 时, 有以下不等式成立：
$\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon \tag{1}$∣xn​−a∣<ε(1)
那么就称 $a$a 是 $\left\{x_{n}\right\}${xn​} 的极限。记作：
$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \tag{2}$n→∞lim​xn​=a(2)
或
$x_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$xn​→a(n→∞)

一、从几何上理解

定义中的（1）式其实可以拆解成一个不等式链：
$-\varepsilon<x_{n}-a<\varepsilon$−ε<xn​−a<ε
它还可以写成：
$a-\varepsilon<x_{n}<a+\varepsilon$a−ε<xn​<a+ε
这样改写过后有一个很大的好处，那就是此时可以看出最终 $\{x_{n}\}${xn​}的所有点都要落在以 $a$a 为中心，上下距离均为$\varepsilon$ε 的范围内。也就是下图所示。（原图地址）

注意：上图中的 $N$N 只与 $\varepsilon$ε 相关。

定义的涵义也可以理解为： 如果$\varepsilon$ε 不管有多小，这个 $N$N 都可以取得足够大，使数列中第$N$N 项（不包括$N$N）之后的所有点都落在上述的范围内，那么这个数列就是收敛的。并且就收敛于上图中的 $a$a.

由任意性很容易理解这样一个过程：如果把 $\varepsilon$ε 取得更小，那么 $N$N 就得取得更大，这样才能保证上图中$N$N项之后的点都落在由 $\varepsilon$ε 的范围内。

下面这组图就描绘了这样的变化过程（图片源自）：

二、从代数上理解

代数上的理解虽然抽象，但有时候反而更加直接。我们不妨考虑这样一个问题：如果给定一个特别小的$\varepsilon$ε， 怎么求出它对应的 $N$N?

根据定义，如果$\varepsilon$ε 已经给定，那么这个 $N$N 必须使得（1）式成立。

这里特别注意以下几个点和逻辑：

• $x_n$xn​ 是数列，那么它一定是一个和 $n$n 有关的数字。而通常它是一个关于 $n$n 的表达式。
• 要求出满足（1）式的 $N$N，其本质问题就是将（1）式这个不等式给解出来。只不过解出的范围是$n$n 的范围，那么它的最小值其实就是 $N$N.

用这种方式再去理解教材的例1-3应该就会更加清楚了。

注：许多同学经常在这时忘记解不等式的问题。一定记着，此时如果弄不明白就一定要去回顾一下解不等式的基本方法，否则你会误将不会解不等式当成你不懂极限定义！！！同时注意我们这里要解的是一个整数的范围，而不是实数的范围。

三、学会用直观的方式为自己减轻负担

书上有一些不太好猜的数列极限，此时冥想是必然无用的。直接画出来是最方便的：

例1：$\left\{\frac{2^{n}-1}{3^{n}}\right\}${3n2n−1​}

画出前100个点它长这样，那么很显然我们大胆猜它极限就是0，其后再去仔细证明。

例2: $\left[(-1)^{n}+1\right] \frac{n+1}{n}$[(−1)n+1]nn+1​

这个看起来复杂些，直接画1000个点，仔细一看一直在震荡，于是大胆猜测它不收敛。

对于不会写程序的同学来说，绘图可以直接采用Excel实现。

如果会用一点程序，但又不想装IDE可以用一点在线编译环境，比如：轻量级IDE介绍（适用于python等多种语言）