概率论与数理统计张宇9讲 第三讲 一维随机变量函数的分布

例题三

例3.4  设随机变量$X$X的分布函数$F_X(x)$FX​(x)是严格增函数，其反函数$F_X^{-1}(y)$FX−1​(y)存在，$Y=F_X(x)$Y=FX​(x)。证明：$Y$Y服从区间$(0,1)$(0,1)上的均匀分布。

证  当$y<0$y<0时，$F_Y(y)=0$FY​(y)=0；
  当$y\geqslant1$y⩾1时，$F_Y(y)=1$FY​(y)=1；
  当$0\leqslant y<1$0⩽y<1时，
$F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{F_X(x)\leqslant y\}=P\{X\leqslant F_X^{-1}(y)\}=F_X[F_X^{-1}(y)]=y.$FY​(y)=P{Y⩽y}=P{FX​(x)⩽y}=P{X⩽FX−1​(y)}=FX​[FX−1​(y)]=y.
  综上所述，$Y=F_X(x)$Y=FX​(x)的分布函数为
$F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<0,\\y,&0\leqslant y<1,\\1,&y\geqslant1. \end{cases}$FY​(y)=⎩⎪⎨⎪⎧​0,y,1,​y<0,0⩽y<1,y⩾1.​
  即为在区间$(0,1)$(0,1)上的均匀分布函数，所以$Y\sim U(0,1)$Y∼U(0,1)。（这道题主要利用了反函数的性质求解）

新版例题三

例3.5

写在最后

  如果觉得文章不错就点个赞吧。另外，如果有不同的观点，欢迎留言或私信。
   欢迎非商业转载，转载请注明出处。