张宇1000题概率论与数理统计 第二、三章 一维随机变量及其分布及一维随机变量函数的分布

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• 第二章  一维随机变量及其分布
• $A$A组
• 10.若随机变量$X$X存在正概率点，即存在一点$a$a，使得$P\{X=a\}>0$P{X=a}>0，则$X$X为（  ）。
  $(A)$(A)连续型随机变量；
  $(B)$(B)离散型随机变量；
  $(C)$(C)非连续型随机变量；
  $(D)$(D)非离散型随机变量。
• $B$B组
• 4.设随机变量$X$X服从正态分布$N(0,1)$N(0,1)，对给定的$\alpha(0<\alpha<1)$α(0<α<1)，数$u_\alpha$uα​满足$P\{X>u_\alpha\}=\alpha$P{X>uα​}=α，若$P\{|X|<x\}=\alpha$P{∣X∣<x}=α，则$x$x等于（  ）。
  $(A)u_{\frac{\alpha}{2}};$(A)u2α​​;
  $(B)u_{1-\frac{\alpha}{2}};$(B)u1−2α​​;
  $(C)u_{\frac{1-\alpha}{2}};$(C)u21−α​​;
  $(D)u_{1-\alpha}.$(D)u1−α​.
• 12.通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布。已知在$1$1分钟内没有汽车通过的概率为$0.2$0.2，则$1$1分钟内有超过$1$1辆汽车通过的概率是______。
• 第三章  一维随机变量函数的分布
• $B$B组
• 3.$X\sim N(\mu,\sigma^2)$X∼N(μ,σ2)，$F(x)$F(x)为其分布函数，则随机变量$Y=F(X)$Y=F(X)的分布函数（  ）。
  $(A)$(A)处处可导；
  $(B)$(B)恰有$1$1个不可导点；
  $(C)$(C)恰有$2$2个不可导点；
  $(D)$(D)恰有$3$3个不可导点。
• $C$C组
• 1.
• （2）若$X\sim B(n,p)$X∼B(n,p)，求$X$X取值为偶数时的概率$P\{X$P{X为偶数$\}$}。
• 写在最后

第二章  一维随机变量及其分布

$A$A组

10.若随机变量$X$X存在正概率点，即存在一点$a$a，使得$P\{X=a\}>0$P{X=a}>0，则$X$X为（  ）。
$(A)$(A)连续型随机变量；
$(B)$(B)离散型随机变量；
$(C)$(C)非连续型随机变量；
$(D)$(D)非离散型随机变量。

解  不同的随机变量类型有不同的特点：连续型随机变量只在区间上取值，在任何定点的概率为零，且分布函数在实轴上连续；离散型随机变量，其定义域为若干离散点（正概率点），分布函数为阶梯形函数，在间断处右连续；还有一类，既不是连续型也不是离散型随机变量，简称为一般类型随机变量，其概率既在区间上取正值，也在定点上取正值，且分布函数有间断点。
  依本题题设，随机变量$X$X存在正概率点，可以否定为连续型随机变量，但不能进一步确定是离散型还是一般类型随机变量，只能判定为非连续型随机变量，故选$(C)$(C)。（这道题主要利用了随机变量类型定义求解）

$B$B组

4.设随机变量$X$X服从正态分布$N(0,1)$N(0,1)，对给定的$\alpha(0<\alpha<1)$α(0<α<1)，数$u_\alpha$uα​满足$P\{X>u_\alpha\}=\alpha$P{X>uα​}=α，若$P\{|X|<x\}=\alpha$P{∣X∣<x}=α，则$x$x等于（  ）。
$(A)u_{\frac{\alpha}{2}};$(A)u2α​​;
$(B)u_{1-\frac{\alpha}{2}};$(B)u1−2α​​;
$(C)u_{\frac{1-\alpha}{2}};$(C)u21−α​​;
$(D)u_{1-\alpha}.$(D)u1−α​.

解  如下图所示，条件$P\{|X|<x\}=\alpha$P{∣X∣<x}=α给出正态分布中$u_\alpha$uα​的定值原则，并称$u_\alpha$uα​为分位数。$u_\alpha$uα​与$\alpha$α相对应，为制定正态分布概率表奠定了基础。

  如下图所示，要确定其中的分位数$x$x，$x$x应满足等式$P\{X>x\}=\cfrac{1-\alpha}{2}$P{X>x}=21−α​，因此，可得$x=u_{\frac{1-\alpha}{2}}$x=u21−α​​，故选$(C)$(C)。

（这道题主要利用了函数图像求解）

12.通过某交叉路口的汽车流可以看作服从泊松分布。已知在$1$1分钟内没有汽车通过的概率为$0.2$0.2，则$1$1分钟内有超过$1$1辆汽车通过的概率是______。

解  若$X\sim P(\lambda)$X∼P(λ)，则其分布律为$P\{X=k\}=\cfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}(k=0,1,2,\cdots)$P{X=k}=k!λk​e−λ(k=0,1,2,⋯)，从结构观察，泊松分布最重要的是确定泊松分布的参数$\lambda$λ。题中已明确在$X\sim P(\lambda)$X∼P(λ)的情况下，由已知，$P\{X=0\}=\cfrac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}=0.2$P{X=0}=0!λ0​e−λ=e−λ=0.2，可得$\lambda=-\ln0.2$λ=−ln0.2，于是$P\{X>1\}=1-P\{X=0\}-P\{X=1\}=1-0.2-\cfrac{\lambda^1}{1!}e^{-\lambda}=0.478$P{X>1}=1−P{X=0}−P{X=1}=1−0.2−1!λ1​e−λ=0.478。（这道题主要利用了泊松分布求解）

第三章  一维随机变量函数的分布

$B$B组

3.$X\sim N(\mu,\sigma^2)$X∼N(μ,σ2)，$F(x)$F(x)为其分布函数，则随机变量$Y=F(X)$Y=F(X)的分布函数（  ）。
$(A)$(A)处处可导；
$(B)$(B)恰有$1$1个不可导点；
$(C)$(C)恰有$2$2个不可导点；
$(D)$(D)恰有$3$3个不可导点。

解  因为$F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{F(X)\leqslant y\}$FY​(y)=P{Y⩽y}=P{F(X)⩽y}，于是：当$y<0$y<0时，$F_Y(y)=0$FY​(y)=0；当$0\leqslant y<1$0⩽y<1时，$F_Y(y)=P\{Y\leqslant F^{-1}(y)\}=y$FY​(y)=P{Y⩽F−1(y)}=y；当$y\geqslant1$y⩾1时，$F_Y(y)=1$FY​(y)=1。
  综上可得$F_Y(y)=\begin{cases}0,&y<0,\\y,&0\leqslant y<1,\\1,&y\geqslant1.\end{cases}$FY​(y)=⎩⎪⎨⎪⎧​0,y,1,​y<0,0⩽y<1,y⩾1.​故应选$(C)$(C)。（这道题主要利用了复合函数求解）

$C$C组

1.

（2）若$X\sim B(n,p)$X∼B(n,p)，求$X$X取值为偶数时的概率$P\{X$P{X为偶数$\}$}。

解  令随机变量$Y=g(X)=\cfrac{1}{2}[1+(-1)^X]$Y=g(X)=21​[1+(−1)X]。当$X=2k+1$X=2k+1（奇数）时，$Y=\cfrac{1}{2}[1+(-1)^{2k+1}]=0$Y=21​[1+(−1)2k+1]=0；当$X=2k$X=2k（偶数）时，$Y=\cfrac{1}{2}[1+(-1)^{2k}]=1$Y=21​[1+(−1)2k]=1；则
$\begin{aligned} P\{X为偶数\}&=P\{Y=1\}=E(Y)=E[g(X)]=E\left\{\cfrac{1}{2}[1+(-1)^X]\right\}\\ &=\cfrac{1}{2}\{1+E[(-1)^X]\}=\cfrac{1}{2}\left[1+\displaystyle\sum^n_{k=0}(-1)^k\mathrm{C}^k_np^k(1-p)^{n-k}\right]\\ &=\cfrac{1}{2}\left[1+\displaystyle\sum^n_{k=0}\mathrm{C}^k_n(-p)^k(1-p)^{n-k}\right]=\cfrac{1}{2}[1+(1-2p)^n]. \end{aligned}$P{X为偶数}​=P{Y=1}=E(Y)=E[g(X)]=E{21​[1+(−1)X]}=21​{1+E[(−1)X]}=21​[1+k=0∑n​(−1)kCnk​pk(1−p)n−k]=21​[1+k=0∑n​Cnk​(−p)k(1−p)n−k]=21​[1+(1−2p)n].​
（这道题主要利用了二次项展开式求解）

写在最后

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