哪个是最快的素数生成算法？

Question

我正在研究一种 Java 算法，以查找不超过某个数字的所有素数。它应该是对早期这样做的方法的改进，如下所示：

public static int[] generatePrimesUpTo(int max)
{
    int[] primes = new int[max];
    primes[0]=2;
    int p = 1;
    for (int i=3;i<max;i+=2)
    {
        if (isPrime(i))
        {
            primes[p]=i;
            p+=1;
        }
    }
    return primes;  
}

public static boolean isPrime(int a)
{
    for (int i=3;i<((int)Math.sqrt(a)+1);i+=2)
    {
        if (a%i==0)
            return false;
    }
    return true;
}

它只是检查一个数字 N 是否可以被一个较小的数字整除，从 2 开始到 sqrt(N) 结束。

现在新方法是仅将 N 除以算法之前发现的更小的素数。我认为它会大大加快这个过程，因为它需要做的计算要少得多。

public static int[] generatePrimes(int num)
{
    int[] primes = new int[num];
    int p = 3;
    primes[0] = 2;
    primes[1] = 3;
    primes[2] = 5;
    boolean prime;
    for (int i=7;i<num;i+=2)
    {
        prime = true;
        for (int j=0;primes[j+1]<(Math.sqrt(i)+1);j++)
        {
            if (i%primes[j]==0)
            {
                prime = false;
                break;
            }
        }
        if (prime)
        {
            primes[p]=i;
            p++;
        }
    }
    return primes;
}

但是，对于 Nmax = 10^7，速度似乎几乎没有差异。 对于 Nmax = 10^8，新的快了 20%，但我的电脑在计算旧的时更活跃，我只尝试了 10^8 一次。

谁能告诉我为什么这种新方法没有那么快？或者我可以做些什么来进一步改进算法？

提前致谢！

Answer 1

您应该考虑是否没有一种方法可以比单独检查每个素数更快地找到范围内的所有素数。例如，您将检查许多数字是否能被 73 整除。但事实是，您可以更快地确定所有能被 73 整除的数字（它们是 73、2*73、3*73、4*73 等。 ）。

顺便说一句：您在循环的每次单次迭代中计算 Math.sqrt (j)。将该计算移到循环之外可能会使您的代码更快。

Answer 2

您的第二种算法更快。我不知道为什么你只看到了 20% 的改进。以下是我的测试结果，有单独的实现：

10^6:
First:  00:00:01.0553813   67240405 steps
Second: 00:00:00.2416291   13927398 steps
Sieve:  00:00:00.0269685    3122044 steps

10^7:
First:  00:00:26.4524301 1741210134 steps
Second: 00:00:04.6647486  286144934 steps
Sieve:  00:00:00.3011046   32850047 steps

10^8:
First:  00:12:00.8986644 46474124250 steps
Second: 00:01:43.1543445  6320928466 steps
Sieve:  00:00:03.6146328   342570200 steps

最后一个算法是Sieve of Eratosthenes，这是一个更好的算法。我在 C# 中为一个处理器实现了所有这些，前两个基于您的代码进行了微小的更改，例如测试 primes[j]*primes[j] <= i。

我使用的埃拉托色尼筛法的实现非常基础，

Boolean[] definitelyComposite = new Boolean[max]; // initialized automatically to false
int p = 0;
for (long i = 2; i < max; i++)
{
    numSteps++;
    if (!definitelyComposite[i])
    {
        primes[p] = i;
        p++;
        for (long j = i * i; j < max; j += i)
        {
            numSteps++;
            definitelyComposite[j] = true;
        }
    }
}

而且还可以改进。例如，除了 i 为 2 时，我可以在循环中使用 j+= 2*i。