素数测试的最快算法[关闭]答案

【问题标题】：Fastest algorithm for primality test [closed]素数测试的最快算法[关闭]
【发布时间】：2011-02-04 21:47:27
【问题描述】：

我需要在非常大的数字之间的间隔上测试素数（在 long long 的范围内），所以我需要一些快速算法来检查一个数字是否为素数。请提出您的想法。

【问题讨论】：

你只需要检查它是否是质数，还是需要找到它的质因数？
质数分解很困难。这就是 RSA 加密的基础。虽然你没有回答斯蒂芬的问题，所以我假设你只是想测试一个数字的素性。
欺骗stackoverflow.com/questions/627463/how-can-i-test-for-primality
您是否需要确定它是否是质数，或者您是否会对正确答案的概率非常高感到满意？
这个问题似乎是题外话，因为它是关于数论的。试试 math.stackexchange.com。

【解决方案1】：

Jim Sinclair 证明了对七个碱基 2、325、9375、28178、450775、9780504、1795265022 的 Miller-Rabin 测试可以确定性地测试小于 2^64 的数是否为素数。见 http://miller-rabin.appspot.com/。

【讨论】：

【解决方案2】：

我认为最好的算法是“ALI primality test”。

【讨论】：

【解决方案3】：

如果你想测试一个 long long 的素数，那么Baillie PSW primality test 是一个不错的选择。该测试进行了一次强伪素测试和一次卢卡斯测试，因此速度非常快。预计会有一些复合材料通过了这个测试，但到目前为止还没有一个已知的，10¹⁵以下当然也不例外。该测试的一个变体例如在 Mathematica 中使用。

【讨论】：

【解决方案4】：

我相信渐近最快的当前（非概率）素性测试是“Lenstra/Pomerance 改进的 AKS”，其复杂性基本上为 O(n^6)。

但是，long long 的范围（假设这是一个 64 位整数的典型系统）并没有那么大。特别是，只有大约 2 亿个小于 2^32 的素数，因此使用快速概率测试，然后使用预先计算的素数列表进行试除（或者只是在素数列表中查找数字，如果你有一个) 在该范围内会非常快，并且可能是正确的方法。

【讨论】：

概率测试后不需要再做试除法。如果您运行概率测试 n 次迭代，则错误答案的概率为 1/2^n，因此如果 n = 100，算法将在 10^30 次中不正确 1。只运行概率测试的迭代次数比进行试验除法要好。
特别是，在真实硬件上，由于寄存器值被异常高能的宇宙射线（或其他零星的硬件故障）。

【解决方案5】：

我建议使用Miller-Rabin 算法的GNU MP library。我用了几个月，速度很快。

具体来说，函数 mpz_probab_prime_p 就是这样做的，你也可以使用另一个函数 mpz_nextprime 来查找下一个大于某个数的素数。如果您愿意，我可以发布代码示例。

【讨论】：

【解决方案6】：

在这里看看我的回答：

how to test a prime number 1000 digits long?

测试非常快。如果您在 64 位或更小的范围内工作，您可以放入一个 30030 的 GCD，以便为大多数数字节省一点时间。

【讨论】：

【解决方案7】：

Cobbal 和 Grokus 是对的。 Miller-Rabin 检验是可用算法中最有用的。是的，它是概率性的，但真的不应该吓跑你。该测试是最广泛用于实际目的的测试。

请注意，通过重复测试，可以任意减小误报（没有误报）的概率。

【讨论】：

【解决方案8】：

最快的可能是在预先计算的素数列表中查找它。请参阅here for example，它们最多有 2^43112609-1（已知的最大素数）。

【讨论】：

这行不通。从来没有计算机有足够的存储空间来保存这么长的列表。根据对pi(2^64) 的粗略估计，该列表将需要超过 10 亿 GB 的无压缩存储空间。
@Dietrich：但是 OP 不需要那么多。

【解决方案9】：

一个好方法是Miller-Rabin 测试。不过需要注意的是，这只是一个概率测试。

【讨论】：

Miller-Rabin 在广义黎曼假设的假设下可以适应确定性。由于 GRH 被广泛认为是正确的，我可以设想一个场景，您使用这个测试就好像它被证明是确定性的，因为它是迄今为止最快的。
@Mark：对于指定的输入范围，我们不需要假设 GRH 为真，我们只需要一个较弱的假设，即 M-R 的确定性版本没有低于 LONGLONG_MAX 的误报。这可能更容易证明，尽管我仍然不喜欢通过详尽的测试来证明。

【解决方案10】：

我想出了一个非常好的算法，它比检查所有除数要快得多——当然这也让我可以破解公钥加密。

等等——我只需要关上窗户，头顶上全是黑色的直升机......

（或者看How can I test for primality?）

【讨论】：

因式分解复合数（破解 RSA 需要）与仅测试一个数是否为素数（不一定需要找到任何特定因数）不同。事实上，实现 RSA 需要找到具有数百位数字的素数，这对于简单的“检查所有潜在除数”算法是不可行的。
是的，但是如果有更快的测试素数的方法，你就不会在这里告诉任何人了 ;-) 这个问题无论如何都会被当作骗子来解决的。