面试题：递归生成素数最快的方法是什么？ [关闭]

Question

质数的生成很简单，但是找到它并递归生成（质数）它的最快方法是什么？

这是我的解决方案。然而，这不是最好的方法。我认为它是 O(N*sqrt(N))。如果我错了，请纠正我。

    public static boolean isPrime(int n) {
        if (n < 2) {
            return false;
        } else if (n % 2 == 0 & n != 2) {
            return false;
        } else {
            return isPrime(n, (int) Math.sqrt(n));
        }
    }

    private static boolean isPrime(int n, int i) {
        if (i < 2) {
            return true;
        } else if (n % i == 0) {
            return false;
        } else {
            return isPrime(n, --i);
        }
    }

   public static void generatePrimes(int n){
       if(n < 2) {
            return ;
       } else if(isPrime(n)) {
            System.out.println(n);
       } 

       generatePrimes(--n);

   }

   public static void main(String[] args) {

        generatePrimes(200);
   }

Answer 1

你需要的是永远的筛子，这是递归素数测试器的代码，我认为它非常有效，因为它只需要测试素数，让我知道你的想法;)

顺便说一句，我不会尝试超过一个字节的任何内容，超过 100 个似乎需要一段时间。

public boolean isPrime(byte testNum)
{
    if ( testNum <= 1 )
        return false;
    for ( byte primeFactor = 2; primeFactor < testNum; primeFactor++ )
        if ( isPrime(primeFactor) )
            if ( testNum % primeFactor == 0 )
                return false;
    return true;
}

Answer 2

对于递归，你应该使用memoization 来改进你的递归函数，这意味着如果你找到素数将它保存在数组中，并且在调用isPrime(n) 时首先检查数组中是否存在如果没有调用 isPrime(n , (int) Math.sqrt(n))。如果 isPrime(n,i) 返回 true，将其添加到素数列表，最好对数组进行排序以进行二进制搜索，在 C# 中有排序列表，并且二进制搜索操作 [制作 n 项列表需要 O(n log n) 并且搜索是 O(log(n))] 我不知道 java [但你可以实现它]。

编辑：您当前的方法是O(n sqrt(n))，但我的方法可以是相同的顺序！但性能更好，实际上顺序是O(n sqrt(n) / log (n) + n log(n/log(n)))，并且因为 log(n) 比 n^Epsilon 小，所以最好说它是 O(n sqrt(n))，但正如你所见，它运行 log(n) 时间会更快。

另外最好是 i-2 而不是 i-- 并且在启动时进行一些额外的检查以更快地运行算法 2*log(n) 时间。

Answer 3

首先，如果您想生成大的素数数（而不是测试整数的素数），那么 Pocklington's theorem 派上用场。如果您知道足够多的 p-1 素因子，则该定理允许对候选 p 进行快速素性检验。因此，以下方法是可能的：生成几个素数，计算它们乘积的合适倍数并使用波克林顿定理进行测试。如果您想找到较大的素数（例如，对于 RSA 密码系统），则必须递归地应用此方法来生成 p-1 的因数。

上面的描述缺少很多细节。但该方法已被深入分析。我认为这篇论文在发表时是最快的方法，尽管从那时起已经过去了一段时间，可能有人对其进行了改进。

P.米海莱斯库。 “在算术级数中使用搜索快速生成可证明的素数”，CRYPTO 会议论文集 94，计算机科学讲义，第 939 卷，Springer 1994，第 282-293 页。

Answer 4

在数学中，阿特金筛法是一种快速、现代的算法，用于查找直到指定整数的所有素数。

Wikipedia article（包含伪代码）

为了解决递归问题，也许Sieve of Eratosthenes 可以递归实现。这个page 可能会有所帮助，因为它似乎在讨论递归实现。

Answer 5

为什么是递归的？

使用更好的素数生成算法，例如埃拉托色尼筛法，甚至更好的阿特金筛法。