函数的运行时复杂度

Question

我必须找出以下程序的时间复杂度：

function(int n)
{
    for(int i=0;i<n;i++)                   //O(n) times
        for(int j=i;j<i*i;j++)             //O(n^2) times
            if(j%i==0)
            {  //O(n) times
                for(int k=0;k<j;k++)       //O(n^2) times
                    printf("8");
            }
}

我对这个函数的分析如下：

i : O(n)  : 1        2        3          4             5
j :       : 1        2..3     3..8       4..15         5..24           (values taken by j)
    O(n^2): 1        2        6          12            20              (Number of times executed)
j%i==0    : 1        2        3,6        4,8,12        5,10,15,20      (Values for which the condition is true)
    O(n)  : 1        1        2          3             4
k         : 1        2        3,6        4,8,12        5,10,15,20      (Number of times printf is executed)
    Total : 1        2        9          24            50              (Total)

但是我无法得出任何结论，因为我没有发现本质上为 O(n) 和 Total of k（最后一行）的 $i$ 之间有任何相关性。事实上，我不明白我们是否应该根据执行 printf 的次数来查看时间复杂度，因为这将忽略 j-for 循环的 O(n^2) 执行。给出的答案是 O(n^5)，我认为这是错误的，但什么是正确的？为了更具体地说明我的困惑，我无法弄清楚 if(j%i==0) 条件如何影响函数的整体运行时复杂性。

Answer 1

答案肯定不是 O(n^5)。它可以很容易地看到。假设您的第二个内部循环始终运行 n^2 次，而您的最内层循环始终运行 n 次，即使这样总时间复杂度也将是 O(n^4)。

现在让我们看看实际的时间复杂度是多少。

1。最外面的循环总是运行 O(n) 次。

2。现在让我们看看第二次内循环运行了多少次外循环的单次迭代：

循环将运行

0i = 0的时间

0i = 1的时间

2 次数为i = 2 ....

i*i - i 次j = i。

i*i - i 是O(i^2)

3。来到最里面的循环，它仅在j 可被i 整除且j 不同于i to i*i-1 时运行。

这意味着j 一直到i*1, i*2 , i*3 .....直到i 的最后一个倍数小于i*i。这显然是 O(i)，因此对于第二个内循环的单次迭代，最内循环运行 O(i) 次，这意味着两个内循环的总迭代次数为 O(i^3).

总结 O(i^3) 对于 i = 0 到 n-1 肯定会给出一个 O(n^4) 项。

因此，正确的时间复杂度是O(n^4)。