这个算法的时间复杂度是多少（解决了 leetcode 问题 650）（问题 2）？答案

【问题标题】：What is the time complexity of this agorithm (that solves leetcode question 650) (question 2)?这个算法的时间复杂度是多少（解决了 leetcode 问题 650）（问题 2）？
【发布时间】：2019-07-03 01:00:36
【问题描述】：

您好，我一直在研究https://leetcode.com/problems/2-keys-keyboard/，遇到了这个动态编程问题。

您从空白页上的“A”开始，完成后您会得到一个数字 n，您应该在页面上出现 n 次“A”。问题是您只允许复制 2 次操作（并且您只能复制页面上当前 A 的总数）并粘贴 --> 找到在页面上获得 n 'A' 的最小操作数。

我解决了这个问题，但后来在 leetcode 的讨论部分找到了更好的解决方案 --> 我无法弄清楚它的时间复杂度。

    def minSteps(self, n):
        factors = 0
        i=2
        while i <= n:
            while n % i == 0:
                factors += i
                n /= i
            i+=1
        return factors

这种工作方式是i 永远不会大于n 的最大素数p，所以外循环是O(p)，而内循环基本上是O(logn)，因为我们正在划分n /= i 每次迭代。

但在我看来，我们对内循环进行了O(logn) 的总划分，而外循环是O(p)，所以使用聚合分析这个函数基本上是O(max(p, logn))，这是正确的吗？

欢迎任何帮助。

【问题讨论】：

是的！你是绝对正确的。
嗯，但是i 循环总是转到原来的 n+1 —— n 是否改变也没关系。我认为代码应该用i=2; while i <= n: ... i+=1替换for循环
哎呀，你是绝对正确的，保罗感谢您的注意。这个算法基本上是 O(n) 然后 ...
什么是p？你的意思是n'？
您好 Jim 抱歉耽搁了，不，我的意思是 p，其中 p 是 n 的最大素数。你是对的，代码没有意义，因为我将根据 Paul Hankin 的评论对其进行修改。

标签： python-3.x algorithm time-complexity

【解决方案1】：

您的推理是正确的：O(max(p, logn)) 给出了时间复杂度，假设算术运算需要恒定时间。这个假设不适用于任意大的 n，它不适合机器的固定大小数字存储，并且您需要具有 non-constant 时间复杂度的 Big-Integer 操作。但我会忽略这一点。

用 p 来表达复杂性仍然很奇怪，因为它不是输入（而是从它派生的）。您的输入只有 n，因此仅用 n 来表达复杂性是有意义的。

最坏情况

显然，当 n 是素数时，算法是 O(n) —— 内部循环永远不会迭代。

对于素数n，算法将比n+1花费更多时间，因为即使是n+1的最小因子（即 2），将使外循环的迭代次数减半，但在内循环中只增加 1 个常量工作块。

所以 O(n) 是最坏的情况。

平均情况

对于一般情况，我们注意到 n 的除法发生的次数与 n 具有素因数（计算重复数）的次数一样多。例如，对于 n = 12，我们有 3 个除法，如 n = 2·2·3

1 的 average number of prime factors 接近 loglogn + B，其中 B 是某个常数。所以我们可以说整个内部循环执行的平均时间复杂度是O(loglogn)。

我们需要添加外部循环的执行。这对应于平均最大素因子。对于 1 this average approaches C.n/logn，所以我们有：

O(n/logn + loglogn)

现在 n/logn 是这里更重要的术语，所以这简化为：

O(n/logn)

【讨论】：