我该如何解决这个算法问题。最佳时间和空间复杂度是多少？答案

【问题标题】：How do I solve this Algorithms question . What can be the optimal time and space complexity?我该如何解决这个算法问题。最佳时间和空间复杂度是多少？
【发布时间】：2018-11-05 11:19:20
【问题描述】：

你有？？？？长方形的纸放在桌子上，你想用别针把它们钉住。给定职位，论文的大小和方向，设计一种算法来确定它们是否可以固定是否只有一个引脚。请注意，您不能移动或旋转纸张。

编辑：

我想先把每个矩形纸分解成小三角形（使用三角分解法），然后找到所有矩形纸共有的小网格区域。然后固定公共区域

【问题讨论】：

到目前为止你的想法是什么？你试过什么？
@Matsemann 我想首先将每个矩形纸分解成小三角形（使用三角分解法），然后找到所有矩形纸共有的小网格区域。然后固定公共区域。
您应该使用您的评论内容更新您的问题。然后告诉我们您在尝试实施该解决方案时遇到了什么问题。
你提到了方向——它们的边缘是否都与轴对齐，或者它们可以是任意角度？
添加了对问题的评论。

标签： algorithm data-structures

【解决方案1】：

这与图形编程中用于“剪裁”的算法相同。从第一张纸开始，用下一张矩形纸夹住剩余的重叠多边形。所有生成的多边形都是凸的，因此可以使用 2D 凸多边形裁剪算法。 This one 列出了执行交叉的步骤：

1. Create an empty polygon as P
2. Add all corners of Polygon1 that is inside Polygon2 to P
3. Add all corners of Polygon2 that is inside Polygon1 to P
4. Add all intersection points to P

如果在任何时候你都没有交叉点，那么就没有地方可以放置别针。

更多想法请见this SO Q&A。

【讨论】：

【解决方案2】：

这不是一个完整的答案，但应该可以帮助您找到一个。

不能将不重叠的两篇论文固定在一起。只有当所有论文相互重叠时，才有可能给出“真实”的答案，但即便如此，也不能保证：想象一个由成对重叠的矩形构成的三角形。没有一根针可以把它固定在一起。
只有当一个矩形完全包含另一个矩形，或者它们的边缘在某处相互交叉时，两个矩形才会重叠。如果一个矩形的顶点在另一个矩形内，它们就会重叠。如果一个矩形的一条边与另一个矩形的一条边相交，它们就会重叠。在所有其他情况下（不包含顶点，也没有边交叉），它们不重叠。
给定两个重叠的矩形，任何必须将所有矩形固定在一起的引脚都必须穿过重叠区域。您可以丢弃矩形并简单地继续使用重叠区域（通常不是矩形）代替它们。所有这些观察同样适用于矩形和一般多边形。

【讨论】：

【解决方案3】：

如果允许任意旋转，则可以使用linear programming 对问题进行建模。问题的维度是2（因为纸片位于平面上），需要每张矩形纸的4 约束来描述其形状。当且仅当所有矩形纸的交点不为空时，才可以使用单个销钉固定矩形纸片。总的来说，可以使用ellipsoid algorithm 在多项式运行时范围内解决该问题（但这更多是理论上的结果）。

【讨论】：