我需要求解线性系统
A x = b
这可以通过以下方式有效地完成
x = A \ b
但是现在A 非常大，我实际上只需要一个组件，比如x(1)。有没有办法比计算x 的所有分量更有效地解决这个问题？
A 不是稀疏的。在这里，效率实际上是一个问题，因为许多b 都这样做了。
此外，存储K 的倒数并仅将其第一行乘以b 是不可能的，因为K 的条件很差。在这种情况下，使用\ 运算符会使用 LDL 求解器，并且在显式使用逆运算时会丢失准确性。
【问题讨论】：
标签： matlab linear-algebra equation-solving
我认为从技术上讲，您不会在非常优化的 Matlab 例程上获得加速，但是如果您了解它是如何解决的，那么您可以只解决 x 的一部分。例如，在传统求解器中，following. 使用 backsub 进行 QR 求解。在 LU 解决方案中，您同时使用后子和前子。我可以得到卢。不幸的是，由于它如何解决它，它实际上从最后开始。对于将同时使用两者的 LDL 也是如此。这并不排除这样一个事实，即可能有更有效的方法来解决你所拥有的任何问题。
function [Q,R] = qrcgs(A)
%Classical Gram Schmidt for an m x n matrix
[m,n] = size(A);
% Generates the Q, R matrices
Q = zeros(m,n);
R = zeros(n,n);
for k = 1:n
% Assign the vector for normalization
w = A(:,k);
for j=1:k-1
% Gets R entries
R(j,k) = Q(:,j)'*w;
end
for j = 1:k-1
% Subtracts off orthogonal projections
w = w-R(j,k)*Q(:,j);
end
% Normalize
R(k,k) = norm(w);
Q(:,k) = w./R(k,k);
end
end
function x = backsub(R,b)
% Backsub for upper triangular matrix.
[m,n] = size(R);
p = min(m,n);
x = zeros(n,1);
for i=p:-1:1
% Look from bottom, assign to vector
r = b(i);
for j=(i+1):p
% Subtract off the difference
r = r-R(i,j)*x(j);
end
x(i) = r/R(i,i);
end
end
【讨论】：
方法mldivide，通常表示为\，接受一次求解具有相同A 的多个系统。
x = A\[b1 b2 b3 b4] # where bi are vectors with n rows
求解每个b 的系统，并将返回一个nx4 矩阵，其中每一列是每个b 的解。像这样调用 mldivide 应该会提高效率，因为分解只进行一次。
在许多分解中，如 LU od LDL'（以及您特别感兴趣的分解）中，矩阵乘以 x 是上对角线，要求解的第一个值是 x(n)。但是，必须进行 LDL' 分解，简单的反向替换算法不会成为代码的瓶颈。因此，可以保存分解以避免对每个bi 重复计算。因此，代码看起来类似于：
[LA,DA] = ldl(A);
DA = sparse(DA);
% LA = sparse(LA); %LA can also be converted to sparse matrix
% loop over bi
xi = LA'\(DA\(LA\bi));
% end loop
正如您在 mldivide (Algorithms section) 的文档中所见，它对输入矩阵执行一些检查，并将 LA 定义为完整矩阵并将 DA 定义为稀疏矩阵，它应该直接使用三角求解器和一个三对角求解器。如果将LA 转换为sparse，它也会使用三角求解器，我不知道转换为sparse 是否会带来任何改进。
【讨论】：