单模矩阵精确逆 Python

Question

numpy 有一种反转矩阵的方法。但是我有一个包含大量整数条目的矩阵，并且该矩阵是单模的，因此逆矩阵也是一个整数矩阵。错误太大，无法使用 numpy 用 float 计算它，然后对值进行四舍五入。有没有办法用整数或任何其他库精确计算条目？

Answer 1

您可以使用sympy。

例如，这是一个 numpy 整数数组：

In [148]: m = np.array([[10, 11, 0, 0], [9, 10, 0, 0], [100, 0, 20, 3], [-10000, 200, 133, 20]])

In [149]: m
Out[149]: 
array([[    10,     11,      0,      0],
       [     9,     10,      0,      0],
       [   100,      0,     20,      3],
       [-10000,    200,    133,     20]])

确切的行列式是 1，但 np.linalg.det() 和 np.linalg.inv() 都会引入浮点错误：

In [150]: np.linalg.det(m)
Out[150]: 0.99999999999887024

In [151]: np.linalg.inv(m)
Out[151]: 
array([[  1.00000000e+01,  -1.10000000e+01,  -6.69432763e-16,
          8.92627614e-17],
       [ -9.00000000e+00,   1.00000000e+01,   6.34413157e-16,
         -8.43354404e-17],
       [ -3.25400000e+05,   3.58000000e+05,   2.00000000e+01,
         -3.00000000e+00],
       [  2.16900000e+06,  -2.38630000e+06,  -1.33000000e+02,
          2.00000000e+01]])

从 numpy 数组创建一个 sympy Matrix 对象：

In [156]: import sympy

In [157]: M = sympy.Matrix(m)

In [158]: M
Out[158]: 
Matrix([
[    10,  11,   0,  0],
[     9,  10,   0,  0],
[   100,   0,  20,  3],
[-10000, 200, 133, 20]])

同情计算是准确的：

In [159]: M.det()
Out[159]: 1

In [160]: M.inv()
Out[160]: 
Matrix([
[     10,      -11,    0,  0],
[     -9,       10,    0,  0],
[-325400,   358000,   20, -3],
[2169000, -2386300, -133, 20]])

要将逆转换回 numpy 数组，您可以这样做：

In [185]: Minv = M.inv()

In [186]: minv = np.asarray(Minv).astype(int)

In [187]: minv
Out[187]: 
array([[      10,      -11,        0,        0],
       [      -9,       10,        0,        0],
       [ -325400,   358000,       20,       -3],
       [ 2169000, -2386300,     -133,       20]])

必须使用 astype(int) 方法，因为 numpy 数组的 dtype object 没有它：

In [188]: np.asarray(Minv)
Out[188]: 
array([[10, -11, 0, 0],
       [-9, 10, 0, 0],
       [-325400, 358000, 20, -3],
       [2169000, -2386300, -133, 20]], dtype=object)

结果是一个 sympy 整数的 numpy 数组。

在转换回 numpy 时要小心：逆向中的整数可能比 64 位整数所能表示的要大。