Q中的精确矩阵求逆

Question

给定一个在有理数 Q 上的可逆矩阵 M，逆矩阵 M^(-1) 又是一个在 Q 上的矩阵。他们的（高效）库是否可以精确计算逆矩阵？

我知道 BLAS/LAPACK 等高性能线性代数库，但这些库基于浮点运算，因此不适合计算精确（分析）解决方案。

动机：我想用它的fundamental matrix 计算一个大的absorbing Markov chain 的吸收概率。我想准确地做到这一点。

详细信息：大体上，我的意思是最好的情况是一个 1000x1000 的矩阵，最坏的情况是几百万维的矩阵。我可以扩展的东西越远越好。 （我意识到最坏的情况可能遥不可及。）

Answer 1

您可以使用Eigen matrix library，它可以轻松处理任意标量类型。文档中有一个示例如何将其与GMPs mpq_class 一起使用：http://eigen.tuxfamily.org/dox/TopicCustomizing_CustomScalar.html

当然，正如@btilly 所指出的，大多数时候您不应该计算逆，而是计算矩阵分解并使用它来求解方程组。对于有理数，您可以使用任何 LU 分解，或者如果矩阵是对称的，则可以使用 LDLt 分解。在这里查看catalogue of decompositions。