如何让 B 样条曲线连接到最终控制点？

Question

我有一组控制点，我正在尝试根据这些控制点绘制三次 B 样条（3 阶）。我遇到的问题是我的曲线没有连接到最终控制点，而是将曲线绘制到一起位于不同区域的其他点。曲线点在一定时间后接近(0, 0)。

Image of just the control points

Image of the curve and the control points. Note that the curve correctly starts at the first control point but does not end at the last control point.

我正在使用的代码：

float Stroke::calculate_N(float t, int i, int j, vector<float> knots){
    float t_1 = knots[i];
    float t_2 = knots[(i + j)];
    float t_3 = knots[(i + 1)];
    float t_4 = knots[(i + j + 1)];

    // Base case of basis function
    if (j == 0){
        if (t_1 <= t && t < t_3) return 1;
        else return 0;
    }

    float temp1 = (t_2 - t_1 == 0) ? 0 : ((t - t_1) / (t_2 - t_1)) * calculate_N(t, i, j-1, knots);
    float temp2 = (t_4 - t_3 == 0) ? 0 : ((t_4 - t) / (t_4 - t_3)) * calculate_N(t, i+1, j-1, knots);

    return temp1 + temp2;
}

vector<float> make_knot_vector(int m, int p, int n){
    vector<float> knots;
    for (int i = 0; i <= p; i++){
        knots.push_back(0.0);
    }
    for (int i = 1; i <= n - p; i++){
        knots.push_back((float)i/(float)(n-p+1));
    }
    for (int i = 0; i <= p; i++){
        knots.push_back(1.0);
    }
    return knots;
}

int main(){
    // Init control points
    s = Spline();
    s.add_control_point(100,100);
    s.add_control_point(232,71);
    s.add_control_point(148,294);
    s.add_control_point(310,115);
    s.add_control_point(375,280);

    // Get the number of knots based on the number of control points and degree
    int num_ctrl_pts = s.get_control_points().size();
    float NUM_KNOTS = (float)(num_ctrl_pts + 3 + 1);

    // Draw each control point in red
    for (auto pt : s.get_control_points()){
        int x = pt->get_x();
        int y = pt->get_y();
        int r = s.get_radius();

        vector<vector<float>> circle_points = calc_circ(y, x, r);
        int si = circle_points.size();
        for (auto circ_point : circle_points){
            c->setColor(circ_point[0], circ_point[1], Color(1.0, 0.0, 0.0));
        }
    }

    // Draw the curve
    vector<float> knots = make_knot_vector(NUM_KNOTS, 3, num_ctrl_pts);
    for (float t = 0.0; t < 1.0; t+= 1.0/1000.0){
        Vector sum = Vector(0.0, 0.0);

        for (int i = 0;i < num_ctrl_pts; i++){
            Vector next = *(s.get_control_points()[i]);
            float n = s.calculate_N(t, i, 3, knots);
            next = next * n;
            sum = sum + next;
        }

        cout<<"("<<(int)sum.get_x()<<", "<<(int)sum.get_y()<<")"<<endl;

        // Draw the curve point in green
        vector<vector<float>> circle_points = calc_circ((int)sum.get_y(), (int)sum.get_x(), s.get_radius());
        for (auto circ_point : circle_points){
            c->setColor(circ_point[0], circ_point[1], Color(0.0, 1.0, 0.0));
        }
    }

    c->writeImage(path + "spline.ppm");

    // delete canvas;
    return 0;
}

Answer 1

三次 B 样条由一个起点（节点）、2 个控制点和一个终点（节点）组成。曲线不通过其控制点，仅通过其节点。

当将多个三次 B 样条组合成一个形状时，一个样条的终点通常是下一个样条的起点，以避免出现间隙。为了使曲线看起来平滑，这个结和相邻的控制点需要共线（所有三个在同一条线上）。

您应该检查Spline 类是否区分控制点和节点。如果不是，它很可能只是期望每第三个点（从第一个点开始，然后跳过两个点）成为一个结。在这种情况下，请确保至少添加 4 分、7 分或 10 分等。

如果Spline 只接受结点（在这种情况下，您应该将add_control_point() 成员函数重命名为add_knot()），它可以自动计算其控制点。一种常见的方法是构造一个Catmull-Rom 样条线。样条曲线将通过点 2、3、4 ... n-1。要添加第一个（从 1 到 2）和最后一个段（从 n-1 到 n），您通常将第一个点和最后一个点添加两次。

// Pseudo code: auto spline = CatmullRom( { p1, p1, p2, p3, p4, p5, p5 } );

更好的解决方案是在第 1 点周围反映第 2 点：

auto p0 = 2 * p1 - p2; auto p6 = 2 * p5 - p4; auto spline = CatmullRom( { p0, p1, p2, p3, p4, p5, p6 } );