选择恰好包含 K 个叶子的子树

Question

我得到了一棵树 T，它有 n 节点和 l 叶子。

我必须选择一些正好包含k (<=l) 叶子的子树。如果我选择节点t的祖先的子树，我们不能选择t的子树。

例如：

这是树 T，它有 13 个节点（7 个叶子）。

如果我想选择 k = 4 叶子，我可以选择节点 4 和 6（或节点 2 和 5）。这是选择的最小数量。 （我们也可以选择节点 6、7、8、9，但这不是最小值）。

如果我想选择k = 5叶子，我可以选择节点3，这是选择的最小数量。

我想选择最少数量的子树。我只能找到O(nk^2) 和O(nk) 算法，它使用BFS 和动态编程。选择这个有更好的解决方案吗？

谢谢:)

Answer 1

实际上，要知道每个子树的叶子数，您只需要遍历每个节点一次，因此复杂度应该是O(nm) 其中m 是每个节点的平均子节点数，在大多数情况下计算为O(n)，因为m 只是一个常数。为此，您应该：

• 找出树的哪些节点是叶子
• 上树，为每个节点保存其子树中的叶子数

您可以通过从叶子开始并将父母放入队列中来做到这一点。当您将节点n_i 从队列中弹出时，从n_i 的每个子节点开始，将每个子树中包含的叶子数相加。完成后，将n_i 标记为已访问（这样您就不会多次访问它，因为每个孩子可以添加一次）

这给出了这样的结果：

^
|               f (3)              This node last
|              / \
|            /     \
|          /         \
|        /             \
|       d (2)           e (1)      These nodes second
|      /  \            /
|     /    \          / 
|    a (1)  b (1)    c (1)         These nodes first

步骤如下：

Find leaves `a`, `b` and `c`.
For each leave, add parent to queue   # queue q = (d, d, e)

Pop d                                 # queue q = (d, e)
Count leaves in subtree: d.leaves = a.leaves + b.leaves
Mark d as visited
Add parent to queue                   # queue q = (d, e, f)

Pop d                                 # queue q = (e, f)
d is visited, do nothing

Pop e                                 # queue q = (f)
Count leaves in subtree: e.leaves = c.leaves
Mark d as visited
Add parent to tree                    # queue q = (f, f)

Pop f                                 # queue q = (f)
Count leaves in subtree: f.leaves = d.leaves + e.leaves
Mark d as visited
Add parent to tree (none)

Pop f                                 # queue q = ()
f is visited, do nothing

您还可以使用智能数据结构来忽略添加两次的节点。请注意，您不能使用有序集，因为在“较高”节点之前探索“较低”节点非常重要。

在您的情况下，如果队列中的节点超过 k 叶子，您可以消除它们，并返回您发现具有 k 叶子的每个节点，这将提供更快的算法。