如何选择包含任何 k 个节点的图的最小子图答案

【问题标题】：How to select a minimum subgraph of a graph containing any k nodes如何选择包含任何 k 个节点的图的最小子图
【发布时间】：2018-02-02 22:06:10
【问题描述】：

我正在尝试解决以下问题。它类似于 k-minimum-spanning-tree 和 steiner 树问题，但它是带有图的。

我们有一个非负无向加权图 G = (V, E)。
对于每对顶点 v1 和 v2，都存在一条边 e12。换句话说，每个顶点都连接到其他每个顶点。
我们将创建一个包含 k 个顶点的顶点 U 的子集。
我们的目标是选择 U 中的 n 个顶点，使得从 U 中的每个顶点到每个其他顶点的边的总和最小化。换句话说，我们希望选择 U 中的顶点，使得从 U 中的节点向外的所有边的总和最小化。
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我是否正确，k-MST 或施泰纳树近似解决方案都不起作用？如果是这样，这个问题叫什么？解决方案是什么？我可以使用启发式或近似来解决这个问题，并且不需要正式的证明。

【问题讨论】：

我最近在这类问题上没有太多经验，所以我不得不问几个可能很愚蠢的问题：k 和 n 是一回事吗？ U和V是一回事吗？你的第三点只是你第四点的简化版吗？
不完全是。 V 表示某个图中所有顶点的集合。 E 表示该图中的边集。 k 只是一个整数，表示我们想要多少个顶点（它是问题的输入，以及包含 V 和 E 的图 G）。 U 表示我们想用某种算法选择的 k 个顶点的子集（U 是问题的输出）。所以第 4 点是说我们的算法选择在 U 中的 k 个顶点应该这样选择，使得它们的边到所有顶点（包括那些不在 U 中的顶点）的长度之和最小化。
因此，如果您想到一个矩阵，其中每列/行是一个顶点，每个单元格都是一个权重。那么U是行的一个子集，然后你想最小化每一行的权重之和？

【解决方案1】：

您是正确的，K-MST 或 Steiner 树不起作用 - 它们只生成树，而您需要具有特殊属性的图，例如如果我理解您的问题，U 内的顶点之间的成本为 0，所有其他边的成本最低。

虽然juancn's 的答案看起来正确，但我认为使用metaheuristic 之类的东西，例如simulated annealing 或 constraint satisfaction 方法会更好。

对于元启发式：

为了满足约束：

总和（顶点==1）= k

对于最后一种方法，即约束满足，内存可能是个问题 - 您需要大量内存来表示全连接图和所有约束。不过，请检查 Minizinc、lpsolve 和 coin-or 项目。

【讨论】：

【解决方案2】：

我不知道是否有更快的算法，但微不足道的算法（如果我的解释正确的话）是：

构建一个数组/映射，在其中保存从 vi 到任何其他顶点的每条边的权重总和。如果您考虑图形的矩阵表示，其中每一行/列是一个顶点，每个单元格是一个边上的权重。该数组将是每一行的总和。
生成所有 k 大小的顶点子集，保留总和最小的那个。

如果有 n 个顶点，这是探索n!/(k! (n-k)!) 这样的组合。

【讨论】：