选择 k 个子位姿答案

【问题标题】：Selecting k sub-posets选择 k 个子位姿
【发布时间】：2011-03-17 09:00:09
【问题描述】：

我在尝试分类算法时遇到了以下算法问题。元素被分类为多层次结构，我理解为具有单个根的poset。我必须解决以下问题，它看起来很像set cover problem。

我上传了我的乳胶问题描述here。

设计一个满足 1 和 2 的近似算法非常容易，只需从 G 的顶点开始“向上走”或从根开始“向下走”。假设您从根开始，迭代地扩展顶点，然后删除不必要的顶点，直到您至少有 k 个子晶格。近似界限取决于顶点的子节点数，这对我的应用程序来说是可以的。

有谁知道这个问题是否有正确的名称，或者问题的树版本？我很想知道这个问题是否是 NP-hard，也许有人有想法来减少一个好的 NP-hard 问题，或者有一个多项式算法来解决这个问题。如果你有两个收集your million dollar price。 ;)

【问题讨论】：

我不明白。如果你选择 S' = {r} 其中 r 是根，那么 \sigma(r) = V。你的意思是 sigma(s) 是所有小于或等于 r 且大于或等于 s 的元素 (格子偏序在哪里少和大？
@deinst 这就是k 存在的原因：让问题更有趣:) S = {r} 是k = 1 的解决方案。
@dareios 您可能想要更正问题陈述中的两个小错误。 1）倒数第二段一般不是真的，取决于G 的选择（除非我遗漏了什么，如果G 包含两个孩子，仅此而已，那么S = G 是l = k = 2 的解决方案. 2) 在倒数第三段中，您可能的意思是：“[...] 我们仍然希望保留 2。”
更准确地说，你有二元相遇和/或连接吗？
@Bolo 所以属性 3 应该声明没有 S' 使得 k

【解决方案1】：

DAG 版本很难通过（鼓声）减少设置封面。设置 k = 2 并做显而易见的事情：条件 (2) 阻止我们生根。（请注意，（3）实际上并不意味着（2），因为下限k。）

树版本是串并行poset版本的特例，可以在多项式时间内精确求解。这是一个递归公式，它给出了一个多项式 p(x)，其中 xⁿ 的系数是基数 n 的覆盖数。

要覆盖的单个顶点：p(x) = x。

其他顶点：p(x) = 1 + x。

并行合成，其中 q 和 r 是两个偏序的多项式：q(x) r(x)。

系列合成，其中 q 是顶部偏序集的多项式，r 是底部的多项式：如果顶部偏序集不包含要覆盖的顶点，则 p(x) = (q(x) - 1) + r( X）;否则，p(x) = q(x)。

【讨论】：

对 (3) 的良好观察并不意味着 (2)，我完全错过了这一点。在问题陈述中更改。剩下的我想我需要先睡一晚，谢谢你的回答！
还原确实很简单，不知道昨天为什么做不到。谢谢！
对于树版本递归公式：如果我有一个要覆盖的顶点，我有你说的 p(x)=x，因为只有一个覆盖。对于没有被覆盖的顶点，我们应该有 p(x)=1（因为覆盖是空的）。我不明白何时应用“其他顶点：p(x)=1+x”多项式。另外，我不明白什么时候适用“顶部poset不包含顶点”（要被覆盖）：顶部poset将始终包含其他posets，所以如果它不包含要覆盖的顶点，其他posets不会任何一个。也许 >= k 对最小属性的限制在这里起作用？
它是 1 + x 因为你没有要求封面中的每个顶点实际上覆盖任何东西，所以你可以选择是否包括它。如果必须覆盖（子）树根，那么您必须将其放入并将其所有正确的后代排除在外。