求正方形中随机中心的圆恰好包含 K 个点的概率

Question

我正在解决一个问题，它简化为以下内容：

1. 给定一个顶点在 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1) 的正方形。
2. 给定一个有限的非空 K 点 (x, y) 集合，严格在这个正方形内，数字 0
3. 求半径为 R 且正​​方形任意中心（可能位于边上）的圆包含所有 K 个点的概率 P。

我认为这是一个几何概率，要计算答案，我们需要将包含所有 K 点的所有圆的总面积除以正方形的面积，显然是 1。
设K = 1，那么计算P就很容易了，我们取这个点，绕着它旋转一个圆，这样它就会画一个半径为2R的圆，它包括所有包含这个点的半径为R的圆；把正方形外面的部分剪下来，计算剩下的面积。
如果K = 2，那么首先我们检查点之间的距离是否不大于2R，使得包含两个点的圆存在。但我真的不明白如何计算总面积，因为如果这有意义的话，最终数字将是四叶花。以此类推以获得更大的 K...

我觉得这可能是一个简单的解决方案，并想知道是否有更优雅的解决方案。

Answer 1

给定 K 个点，如果半径为 R 的圆盘覆盖了它们的凸包，则它会覆盖它们。如果你尝试磁盘的所有位置，最极端的情况是圆周穿过一两个船体顶点。如果我们考虑通过给定顶点的所有位置，我们可以在与船体上两个相邻顶点的接触之间的角度内旋转圆盘。在这个旋转过程中，圆心描述了一个半径为 R 的圆弧。

因此圆盘中心的轨迹是一个由半径为 R 的圆弧组成的凸曲线多边形。要获得所需的概率，请将该多边形与单位正方形相交并计算公共面积。

在图中，K=6 个点的凸包是绿色的。红色圆圈是两个触点的极端位置。圆盘中心的轨迹用蓝色定界。

一旦你有了凸包，构建曲线多边形就不是那么困难了，要得到它的面积，你可以分解成一个标准多边形和一组圆形线段。

但是在单位正方形内剪裁会让人头疼。