在 Haskell 中找到通过 DFS 森林的最长路径

Question

我有一个图表，我正在尝试找到最长的路径，但我不确定如何去做。我正在使用来自Data.Graph 的标准Graph 和Edge 类型，并且该图是使用buildG 函数生成的。我最初的想法是使用dfs 执行深度优先搜索，但这产生了一个我不确定如何操作的Forest 对象。

如果它有帮助（很抱歉我不能很好地打印这个，showForest 显然只打印字符串），这是我图表上dfs 命令的输出：

[Node {rootLabel = 87, subForest = [Node {rootLabel = 82, subForest = [Node {rootLabel = 70, subForest = []},Node {rootLabel = 83, subForest = [Node {rootLabel = 66, subForest = [Node {rootLabel = 72, subForest = [Node {rootLabel = 88, subForest = []}]}]},Node {rootLabel = 79, subForest = [Node {rootLabel = 69, subForest = [Node {rootLabel = 85, subForest = []},Node {rootLabel = 84, subForest = [Node {rootLabel = 86, subForest = []},Node {rootLabel = 73, subForest = [Node {rootLabel = 81, subForest = []}]}]}]}]}]},Node {rootLabel = 89, subForest = []}]}]}]

我发现了一些不同的函数来查找通过树的最长路径，例如在这个 answer 中，但它们仅适用于 Trees，而不适用于 Forests，我不确定它是否甚至可以在两者之间转换。

谢谢！

Answer 1

正如 Shersh 在他们的回答中解释的那样，深度优先搜索不足以解决您的问题（如果是，您可以使用您链接到的答案中的 generalFold，例如，重建每个路径中的最长路径森林之树）。一种替代方法是从 Data.Graph 切换到 fgl，它提供了各种各样的图算法，包括广度优先搜索。请注意，FGL 的The Haddock documentation 相当简洁，因此您还需要通过package homepage 查阅有用的用户指南。在下面的演示中，我将使用bft 函数来获取图的广度优先生成树，这应该足以让您入门：

GHCi> import Data.Graph.Inductive.Graph
GHCi> import Data.Graph.Inductive.PatriciaTree 
GHCi> import Data.Graph.Inductive.Query.BFS
GHCi> :{
GHCi| test :: UGr
GHCi| test = mkUGraph [1..7] [(1,3),(1,2),(2,4),(3,5),(2,6),(5,2),(5,7)]
GHCi| :}
GHCi> prettyPrint test
1:()->[((),2),((),3)]
2:()->[((),4),((),6)]
3:()->[((),5)]
4:()->[]
5:()->[((),2),((),7)]
6:()->[]
7:()->[]
GHCi> bft 1 test
[[1],[2,1],[3,1],[4,2,1],[6,2,1],[5,3,1],[7,5,3,1]]

生成树本质上是从一个节点到所有可达节点的路径列表。例如，如果您只想找到最大长度的路径之一而不关心平局，那么您只需要：

GHCi> import Data.Ord
GHCi> import Data.List
GHCi> maximumBy (comparing length) (bft 1 test)
[7,5,3,1]

如果您确实关心平局，则需要对groupBy 之类的东西进行一些杂耍，但这不会从根本上变得更加困难。

Answer 2

我将首先解释dfs 的作用。正如您在 cmets 中提到的，您使用 buildG 函数，所以我也会在我的回答中使用它。

dfs 有 2 个参数：图和根节点列表。然后dfs 从列表中的每个顶点编号开始运行深度优先搜索，返回列表中这些节点的可到达顶点的Tree。例如：

1. 您有 1 个顶点的图，并且您想从 1 中查找路径。然后您将得到一个列表，其中只有一个 Tree，其中根标签为 1，子林为空。
2. 您有 2 个顶点和从 1 到 2 的边的图，并且您希望从 1 中查找路径。然后您将获得只有一个 Tree 的列表，其中根标签为 1，子林是列表，其中 2 作为根标签.
3. 您有 3 个顶点和边 (1,2) 和 (1,3) 的图，并且您希望从 1 中查找路径。然后您将获得只有一个 Tree 的列表，其中根标签为 1 和子林是一个有两棵树的列表，分别以 2 和 3 作为根标签。

所有这些示例（甚至更多）都将在下一个 ghci 会话中演示：

λ: let g = buildG (1,1) []
λ: dfs g [1]
[Node {rootLabel = 1, subForest = []}]
λ: dfs g [2]
*** Exception: Ix{Int}.index: Index (2) out of range ((1,1))
λ: let g = buildG (1,2) [(1,2)]
λ: dfs g [1]
[Node {rootLabel = 1, subForest = [Node {rootLabel = 2, subForest = []}]}]
λ: dfs g [2]
[Node {rootLabel = 2, subForest = []}]
λ: let g = buildG (1,3) [(1,2), (1,3)]
λ: dfs g [1]
[Node {rootLabel = 1, subForest = [Node {rootLabel = 3, subForest = []},Node {rootLabel = 2, subForest = []}]}]

但是，不幸的是，dfs 无法帮助您完成任务：找到距给定顶点最远的顶点。在算法的工作方式中，它只是无法解决此类问题。假设你有 4 个顶点和边的图：

1 → 2, 2 → 3, 3 → 4, 1 → 4

从 1 开始有最长路径的顶点是 3（这条路径有 2 条边）。但是dfs 会根据您指定的边的顺序返回不同的结果。

λ: let g = buildG (1,4) [(1,2), (1,4), (2,3), (3,4)]
λ: dfs g [1]
[Node {rootLabel = 1, subForest = [Node {rootLabel = 4, subForest = []},Node {rootLabel = 2, subForest = [Node {rootLabel = 3, subForest = []}]}]}]
λ: let g = buildG (1,4) [(1,4), (1,2), (2,3), (3,4)]
λ: dfs g [1]
[Node {rootLabel = 1, subForest = [Node {rootLabel = 2, subForest = [Node {rootLabel = 3, subForest = [Node {rootLabel = 4, subForest = []}]}]}]}]

这不是具体实现的问题。这就是dfs 的工作原理。在一般情况下，您不能使用dfs 来解决您的特定问题。此外，仅通过重新排列列表中的边缘无法解决此问题，因为您通常不知道如何重新排列它们。

您真正需要使用的是bfs 算法——广度优先搜索。不幸的是，它没有在Data.Graph 库中实现。所以你需要从零开始实现整个算法，或者在某个地方找到实现（这里有一些讨论：Traversing a graph breadth first, marking visited nodes in Haskell）。

Answer 3

需要注意的是图中的最长路径与最长路径不一样 在生成树中。图可以有许多生成树，而这些树没有 具有相同的高度。 duplode 提供的 btf 代码正确地找到了生成树中的最长路径。

例如，duplode answer中的图形 mkUGraph [1..7] [(1,3),(1,2),(2,4),(3,5),(2,6),(5,2),(5,7)] 有一条比建议的[1,3,5,7] 更长的路径，该路径是[1,3,5,2,6]。

一个更简单的例子 mkUGraph [1,2,3] [(1,2),(1,3),(2,3)] 使用 FGL btf 1 将产生生成树 [[1], [3,1], [2,1]]，最长的路径是 [1,2,3]（它本身就是一棵生成树）。

一般来说，找到最长路径并非易事（实际上是 NP-hard），但对于 DAG，可以使用拓扑排序节点的相当简单的折叠来完成。

看 https://github.com/rpeszek/graph-exercise