简单算法的大 Theta 复杂度答案

【问题标题】：Big Theta complexity for simple algorithm简单算法的大 Theta 复杂度
【发布时间】：2016-02-28 10:24:34
【问题描述】：

我有以下代码，必须确定大的 theta 复杂度

for i =1 to n do
    for j = 1 to n do
        k=j
        while k<= n do
           k = k*3
        end while
    end for
end for

很容易看出，前两个 for 循环各运行 n 次，但 while 循环让我失望了。它第一次运行 log3(n) 次，但在那之后我真的不知道了。谁能帮忙？

【问题讨论】：

标签： pseudocode big-theta

【解决方案1】：

设 T 为运行时间。很明显 T 是 Ω(n²)。我们可以使用Stirling's Approximation 来扩展ln n！要得到 T = ∑_i ∑_j ⌈lg₃(n/j)⌉ = n * O(∑_j ln n - ln j + 1) = n * O(n ln n - ln n! + n) = n * O(n ln n - (n ln n - n + O(ln n)) + n) = O (n²)

因此 T = Θ(n²)

【讨论】：

【解决方案2】：

不使用重量级数学的解决方案：

把问题转过来：不要考虑第一次运行内部循环，而是考虑最后一次：它只运行一次。事实上，对于j 的大多数值，最里面的循环只运行一次。

当 j > n/3 时运行一次，即对于 j 的 2n/3 个值
它在 n/9 当 n/27 当 n/81 ...

最内层循环运行的总次数将是

1 * 2n/3 + 2 * 2n/9 + 3 * 2n/27 + 4 * 2n/81 + ... = 2n(1/3 + 2/9 + 3/27 + ... )

很容易看出系列Sum[k/3^k] 收敛（比率测试）。因此 j 循环在 O(n) 时间内运行，而整个过程在 O(n²) 时间内运行。

【讨论】：