为函数设计恒定时间算法答案

【问题标题】：Designing A Constant-Time Algorithm For A Function为函数设计恒定时间算法
【发布时间】：2017-08-16 18:36:40
【问题描述】：

这个问题刚刚在我脑海中浮现：

函数G(m)定义如下：

a) 如果 m

b) 如果 m > 100 则 G(m) = m – 10

根据上面的问题，如何设计一个计算G(m)的常数时间算法？

【问题讨论】：

也许是动态规划？将 m = 1 到 100 的结果存储在一个数组中。因此，计算 G(m 100) 永远是常数时间。
m 可以是负数还是零？
我们不应该为你做作业。但是我会给你一个非常重要的提示，你可以使用基本的算术和离散推理来假设对于 m + ((floor((101 - m)/11) + 1) * 11) - 10 而不需要任何迭代。因为另一种情况也是 O(1) 操作，所以您最多得到 O(1)。 Edit2：错误太多。那里。固定
我其实没想到你会完成我的作业。我只是想向我解释实际被问到的问题。编辑：即使有迭代，时间复杂度仍然是 O(1)，因为循环将运行有限的时间。这是正确的吗？
@MananTyagi：它为m 的所有值形成了一个AP。当我简化时，它都以 91 结束。无论m 的值是多少，最终都会以 G(101) 结束，并且计算结果为 91。因此，G(m) = 91 对于@ 的所有值987654326@这里。

标签： algorithm constant-time

【解决方案1】：

假设m 适合一个整数变量，显然可以在恒定时间内计算 (b) 部分。

问题要求证明的棘手部分是 (a) 部分是恒定的。然后是O(1) 时间。这可以使用数学归纳法或其他方式来完成。

归纳证明如下。

首先观察G(101) 的定义等于 101 - 10 = 91。

对于90 <= n <= 100，它拥有G(n) = G(G(n + 11))，其中n + 11 > 100。所以G(n)等于G(n + 11 - 10) = G(n+1)，也就是91。

由此可见，G(91 - 1) = 91、G(91 - (1 - 1)) = 91、...、G(91 - (1 - 10)) = 91 这十个等式都是正确的。这是一般归纳的基础。

归纳步骤：假设 G(91 - i) = 91、G(91 - (i - 1)) = 91、...、G(91 - (i - 10)) = 91 对于从 1 到某个界限的所有数字 i 都为真。

然后G(91 - (i + 1)) = G(G(91 - i - 1 + 11)) = G(G(91 - (i - 10)))。从基本步骤，我们知道G(91 - (i - 10)) = 91。将其代入上面的等式，我们得到G(91)，它也已知为 91。由此可以得出，i+1 的假设也是正确的。

因此，对于所有 n >= 1，G(91 - n) 等于 91。归纳证明。

在 Python 中计算G 的恒定时间算法示例：

def G(m):
   if m > 100:
      return m - 10
   else:
      return 91

【讨论】：