以恒定时间运行的分而治之的算法？

Question

您能否向我指出一个在 CONSTANT 时间内运行的分而治之算法的示例！我处于“天哪！我想不出任何这样的事情”的情况。请给我指点东西。谢谢

我知道遵循以下重复的算法：T(n) = 2T(n/2) + n 将是merge sort。我们将问题划分为 2 个子问题——每个子问题的大小为 n/2。然后我们会花 n 时间将所有内容重新归入一个排序数组。

我也知道T(n) = T(n/2) + 1 将是binary search。

但是T(n) = 1?是什么

Answer 1

要让分治算法在恒定时间内运行，它只需要对任何输入执行固定数量的工作即可。因此，它最多可以对任何输入进行固定数量的递归调用，因为如果调用的数量是无限的，那么完成的总工作将不是一个常数。此外，它需要在所有这些递归调用中做大量的工作。

这基本上消除了任何看起来合理的递归关系。任何形式

T(n) = aT(n / b) + O(n^k)

是不可能的，因为递归调用的数量会随着输入 n 的函数而增长。

您可以制作一些在恒定时间内运行的高度人为的分而治之的算法。例如，考虑这个问题：

返回输入数组的第一个元素。

这在技术上可以通过分而治之来解决

• 单元素数组的第一个元素等于自身。
• n 元素数组的第一个元素是仅第一个元素的子数组的第一个元素。

然后是递归

T(n) = T(1) + O(1)

T(1) = 1

如您所见，这是一个看起来很奇怪的重复，但确实有效。

我在实践中从未听说过这样的事情，但如果我想到任何事情，我会尝试用细节更新这个答案。 （注：我不希望更新这个答案。^_^）

希望这会有所帮助！