恒定时间级联计算是否可行？

Question

这是一个关于计算机技术限制的教育目的问题。
我有一种心态，下面的程序是不可能创建的。

假设我必须开发一个累积统计数据结构。
这是规范：-

• 用户可以在O(1) 中update(i,value) 到data[i]（平均情况）。
• 用户可以在O(1)中查询getAccu(i) = data[0]+data[1]+...+data[i]（平均情况）。
• 我不能以任何方式假定调用这两个函数的顺序。

这是我的代码 (coliru demo)。
但它不符合上述要求：-

#include <iostream>
#include <vector>
int data[5]={0,1,2,3,4};
int accu[5]={0,1,3,6,10};
/** assume that index always >=1 */
void update(int index,int value){  //O(n) i.e. O(array length)
    data[index]=value;
    for(int n=index-1;n<5;n++){
        accu[n]=accu[n-1]+data[n];
    }
}
int getAccu(int index){            //O(1)
    return accu[index];
}
int main(){
    update(2,12);
    //note: data = 0,1,12,3,4
    //      accu = 0,1,13,16,20
    std::cout<<getAccu(3)<<std::endl; //16
    //update() ... getAccu()... update() ...
}

不受内存存储大小和数据结构类型的限制，
是否可以将update(index,value) 和getAccu(index) 都设为O(1)？

如果是，如何？如果不是，为什么？

抱歉这个晦涩的话题。我找不到更合适的了。

Answer 1

在恒定时间内做所有事情似乎很乐观。如果您不介意O(log n) 的复杂性，您可以维护一个平衡的二叉树，在每个节点中存储以该节点为根的子树的总数。

当您更新一个值时，您只需要更新从根到该元素的路径中的 log n 小计。

计算累加器只是从根开始定位右节点，每次向右时加上左小计。

您可以不急于进行更新，而是将它们添加到待更新项目列表中，然后当您收到查询并且该列表不为空时，您可以在log n 中进行每次更新或者如果有很多更新，只更新 O(1) 中的值并重新计算 O(n) 中的整个累加器，但只有在 2 个查询之间可能会得到很多更新时，这才值得。