用图论找到套利答案

【问题标题】：Find Arbitrage with graph theory用图论找到套利
【发布时间】：2019-12-05 19:25:02
【问题描述】：

我正在尝试解决这个问题：https://open.kattis.com/problems/arbitrage

如果你要去参加世界总决赛，你不能依赖捷克皇冠。你将不得不用你的钱来换取各种外币。这个问题涉及多种货币和他们的汇率。你的任务是验证一些交换利率是安全的，即检测所谓套利的可能性。

套利是买卖操作的无风险组合从市场价格的不平衡中获利。价格可能适用于各种事物，通常是证券交易所，但也适用于货币。

输入输入由几个测试用例组成。每个案例都以一行包含一个正整数??????，1≤????≤200，该数货币。

每个测试用例的第二行包含 ????货币代码分开由一个空格。每个代码由3个大写字母和所有代码组成在一个测试用例中是不同的。

第三行包含一个整数??????,0≤????≤????⋅(????−1), 可用的汇率数量。以下各项？？？？线条包含以下格式的一个汇率：第一种货币代码、空格、第二货币代码、空格、整数 ??????????、冒号 (':') 和整数 ??????????。含义如下：如果您付款？？？？？？第一个货币的单位，你会得到?????????的单位第二种货币。你可以假设 1≤????????,????????≤100 并且这两个货币不同。

最后一个测试用例后面跟着一行 ????=0。

我的方法是在每个节点上做一个 dfs，检查是否有一个乘积大于 1 的循环。

这在O(n^2) 中运行。

有更快的解决方案吗？

【问题讨论】：

标签： algorithm graph

【解决方案1】：

为了澄清，这个问题有两个输入大小的度量； C 是货币数量，R 是可用汇率数量。使用每种货币的 DFS 的“蛮力”解决方案是 O(C² + CR)，通常 R 可以达到 O(C²) 本身。

这个问题可以建模为在图中找到一个负权循环。节点是货币，边是汇率对，对于汇率 r，边权重是 -log(r)。使用负对数意味着当且仅当汇率的乘积大于 1 时，一个周期的权重之和为负。

通常通过采用标准最短路径算法来找到负权重循环，例如 O(CR) 时间内的Bellman-Ford，或 O(C³) 时间的 Floyd-Warshall。在 R 为 O(C) 或更大的情况下，这些都没有比您的解决方案渐近更好，但可能值得进行基准测试，看看替代方案在实践中是否更快。

【讨论】：

实际上，我刚刚意识到基于 dfs 的方法将是 n^3 :) 我必须维护给定路径中访问的所有节点的副本 - 这是 O(n)。
每次运行 DFS 都需要 O(C + R) 时间，并且您正在为每个 C 节点执行 DFS，因此 O(C² + CR)。在 R 为 O(C²) 的情况下，这是 O(C³)；在这种情况下，贝尔曼力也是 O(C³)。在 DFS 中跟踪循环中的节点序列并不需要渐近更多的时间或空间。
我不确定在这种情况下每次运行 dfs 是否需要 O(C + R) 时间。我对 dfs 的目标是检查，如果我从顶点 u 开始，我可以循环回到 u。对于以 u 为根的每条路径，我必须维护迄今为止在该路径中看到的所有节点的集合。维持这个集合是 O(n)
每次运行 DFS 确实需要 O(C + R) 时间，无论您是否将访问过的节点记录在一个集合中。我不知道你是用 n 来表示货币的数量还是汇率对的数量，但是在 O(C + R) 时间和空间不会改变复杂性。