最大流量以找到最有利可图的安排

Question

让a_1, ..., a_n演员。每个演员都有一个成本c_1, ..., c_n。此外，我们有投资者b_1,..., b_m，因此每个投资者都愿意为我们的电影投入q_j 资金。如果所有他喜欢的演员都出现在我们的电影中，投资者就会在我们的电影中投入资金。 当然，我们可能有多个投资者。找到参与者/投资者的子集以最大化我们的利润（即投资总和减去工资总和）

基本上，解决方案是将一些顶点s 连接到每个具有权重边q_i 的投资者。接下来，我们将每个投资者与权重边缘infinity 的青睐演员联系起来。最后，我们将每个actor连接到某个顶点t，其边的权重为c_i。

然后，我们寻找最大流量。

我的问题是：

• 为什么有效？
• 有人告诉我，为了找到这些参与者/投资者子集，我们需要查看最小削减(S,T)，然后我们有：picked_investors = S ∩ investors 和 picked_actors = S ∩ actors。你能解释一下吗？
• 我们不能只看流去哪里找到这两个子集吗？

Answer 1

该算法基于最大流-最小割对偶。让我们分析一下这个图中的 mincut 是什么样子的。

我们可以很容易地看到一个有限解是可能的：考虑在一侧具有{s} 并且在另一侧具有其他节点的切割。很明显，这个cut的值是q_i的和，是有限的。

现在让我们看看这张图中切割的含义。如果投资者与s 处于同一边，则意味着他/她将投资他/她的钱。如果一个演员与剪辑中的s在同一边，这意味着他也将参与这部电影。在剪辑的另一边意味着不参与电影（对演员和投资者而言）。

关键部分如下：任何不满足声明中给出的限制的削减都将具有无限价值，因为从投资者到跨越削减的参与者都会有优势。正如我们之前看到的，存在有限解，因此 mincut 将满足这些限制。

现在，我们要最小化什么？忽略无限边，如果我们为电影选择了那个演员，则将一个演员边缘添加到价值中，如果我们不为这部电影选择那个投资者，则添加一个投资者边缘。我们想要最大化收益，这与最小化我们可能失去的东西是一样的。