在 O(1) 时间内找到未排序数组的两个索引之间的最大值答案

【问题标题】：find max between two indices of unsorted array in O(1) time在 O(1) 时间内找到未排序数组的两个索引之间的最大值
【发布时间】：2012-09-15 03:45:12
【问题描述】：

在一个未排序的数组中，（我们可以预处理这个数组）。我们如何在 O(1) 时间内回答以下查询？从索引 i 到 j 找到最大值

编辑： 预处理可能需要 O(n) 时间和 O(n) 顺序的额外内存，因此经常出现的查询在 O(1) 时间内得到回答......

【问题讨论】：

【解决方案1】：

这个问题（称为范围最小查询问题）已解决（O(n) 预处理，O(1) 查询）。来自Wikipedia：

众所周知，O(n) 时间的预处理足以在 O(1) 时间内回答后续查询。结果方案的空间实际上非常小，即 O(n) 位（参见 Fischer & Heun (2007)）。

RMQ 问题与您的问题完全相同（只需将“minimum”替换为“maximum”）。请参阅http://wcipeg.com/wiki/RMQ#Cartesian_trees 了解算法的草图及其正确性和内存/时间保证的证明。

另请参阅TopCoder tutorial，了解可用于解决此问题的不同选项的概述，这些选项基本上是按实现复杂性递增的顺序。

【讨论】：

【解决方案2】：

没有内存限制或预处理限制？只需制作一个包含所有可能答案的 O(n²) 表（即，i 和 j 的每个可能值对应一个条目）。这张表可以在 O(n³) 时间内简单地制作，并且可以通过增量计算最大值很容易地降低到 O(n²)。

【讨论】：

【解决方案3】：

这是不可能的。您将需要遍历数组以找到需要 O(n) 的最大值，或者您需要通过对数组进行排序（比 O(n) 更昂贵）或确定所有可能范围的最大值来预先计算will 比 O(n) 更昂贵，并且需要太多的内存。

【讨论】：

嗯，不，我认为这是看待问题的一种非常简单的方式。为什么不可能？不要提出错误的二分法——你需要一个真实的证据来证明这是不可能的。
给出一个真实的证明需要一点 CS 理论。任何涉及算法设计和/或复杂性分析的 CS 课程都应该涵盖这个特定问题。
这里实际上有一个理论上的解决方案：如果您的 CPU 数量与您正在查看的数组切片中的元素数量相同，您可以并行扫描所有元素以找到最大值。在实践中，您可能拥有比 CPU 更多的元素，并且通信开销可能远高于这种方法的任何理论上的好处，这使得这种方法不可行。
考虑到新的约束条件，这个特殊的问题变得不那么容易了。 O(n) 预处理解决方案是在 2007 中发现的——鉴于大多数“简单”的 CS 复杂性理论问题在 70 年代和 80 年代得到解决，这表明该问题并不容易。我怀疑该证明是否包含在介绍 CS 理论课程中；）

【解决方案4】：

除非您的预处理可以大于 O(1)，否则不可能。排序有什么问题？这只是 O(n*log(n))（如果允许基数排序，则为最大 O(n)）。

【讨论】：

排序完全破坏了问题的意义——我们试图从索引i 到j 中找到最大值，排序会使这些查询毫无意义。
是的，但是如果没有一些非常量时间的预处理，这是不可能的。排序和其他操作一样好。
你将如何使用排序数组回答查询？
自编辑后：创建一个大小为 n 的数组，其中包含从 0 到 n-1 递增的数字。在 n*log(n) 时间内使用您的第一个数组的比较函数对其进行排序。将新数组解释为索引。在 O(1) 中找到答案。
@nneonneo 说排序会破坏问题的意义是正确的