二叉树等式的空间/时间复杂度

Question

我昨天接受了一个采访，涉及一个非常基本的树数据结构：

t ::= int | (t * t)

其中一个 tTree 是一个整数（叶）或两个 t，它们代表左右子树。这意味着树将仅在叶级别具有值。

示例树可能如下所示：

         t 
      /     \ 
     t        t
   /   \    /   \
  1     2  3     4

任务是编写一个函数equal(t, t) => bool，它接受两个 tTree 并确定它们是否相等，非常简单。

我写了非常标准的代码，结果是这样的（下面是伪代码）：

fun equal(a, b) {
   if a == b {   // same memory address
      return true
   } 

   if !a || !b { 
      return false
   }

   // both leaves 
   if isLeaf(a) && isLeaf(b) {
      return a == b 
   }

   // both tTrees
   if isTree(a) && isTree(b) {
      return equal(a->leftTree, b->leftTree) 
          && equal(a->rightTree, b->rightTree)
   }

   // otherwise
   return false
}

当被要求给出时间和空间复杂度时，我很快回答：

O(n) time 
O(1) space

我的面试官声称他们可以创建一棵树，这样这个相等的函数就可以在O(2^n) 指数时间内运行。鉴于上述算法，我没有（现在仍然没有）看到这是怎么可能的。我看到该函数递归调用自身两次，但是每次调用的输入大小都减半，对吗？因为您只是在并行检查各个子树。

对此的任何想法或意见都会非常有帮助。

Answer 1

就目前而言，你的代码是 O(n)，你的面试官弄错了。虽然代码在空间使用方面不是 O(1)：在最坏的情况下（当树非常不平衡时）它是 O(n)，因为您的代码是递归的（而不是尾递归）。

可能他们要求您编写一个函数来测试两棵树是否同构。也就是说，他们希望您编写在比较这两棵树时返回 true 的代码：

  *      *
 / \    / \
1   2  2   1

然后他们误读了您的解决方案，假设您编写了执行此操作的简单代码，即 O(2^n)。

另一种可能性是，一些指针可以在同一棵树的左右分支中重复使用，从而允许在 O(n) 空间中表示具有 2^n 个节点的树。那么如果'n'是内存中结构的大小，而不是节点的数量，那么面试官的位置是正确的。这是这样一棵树：

  ___   ___   ___   ___   ___
 /   \ /   \ /   \ /   \ /   \
*     *     *     *     *     1
 \___/ \___/ \___/ \___/ \___/

根在左边，有32个叶子节点（全1）。