求圆内任意点与上矢量方向的夹角

Question

我有一个向上矢量方向为 Vector(0, -1) 的圆和一个点 B，它可以在该圆上的任何位置。我知道它在圆圈内的确切位置。 (0,0) 点位于图像的左上角。

如何找到点 B 和上向量之间相对于圆心的角度 x？

我正在用 XNA 和 C# 开发游戏。

更新：我不明白为什么这个问题被标记为与编程无关。无论如何，这是我到目前为止所做的。

我可以找到两个向量之间的弧度

    private float radianBetweenVectors(Vector2 a, Vector2 b)
    {
        return (float)Math.Atan2(b.Y - a.Y, b.X - a.X);
    }

但如果可能的话，我不想知道向上矢量在精灵图像上的位置。这里的位置是圆的圆周上从 0 度开始的点。

更新 2：

一旦我有了角度，我想获得旋转矩阵：

Matrix rotMatrix = Matrix.CreateRotationZ(angle);

现在我有了这个包含旋转的矩阵，我可以让 XNA 用这个旋转来变换 Up 向量：

moveDirection = Vector2.Transform(up, rotMatrix);

我希望这将采用原来的向上方向，通过围绕 Z 轴的旋转进行变换。我仍在试图弄清楚这是否是正确的方法。

Answer 1

从圆心查找点 B 的相对 x 和 y 坐标。 （如果你知道圆的半径，你可以这样做）。如果圆的直径是精灵的宽度，只需将宽度除以 2 即可得到半径。然后使用反正切。

我会尽力帮助你，因为我在我比较年轻的时候就开始了 XNA，在我没有任何向量经验之前，你可能处于与 5 年前相同的位置。

如果您不了解其背后的数学原理，您只需将 B 点视为由 3 条线组成的三角形上的一个点。我将使用（0,0）作为圆心，您可以根据给定半径的绝对位置计算圆心的相对位置。 （如果你做不到这部分，你需要在数学课上多加注意）。

• (0,0) 到 (0, B.y) 将是垂直腿。
• (0, B.y) 到 (B.x, B.y) 将是水平腿
• (B.x, B.y) 到 (0,0) 将是斜边。

然后你使用切线规则切线 = 对面/相邻。所以你会知道另一条腿到角度 X 的距离是从 (0, B.y) 到 (B.x, B.y) 水平腿的距离。相邻腿距离为 (0,0) 到 (0, B.y)。不需要距离公式，只需减去坐标。现在你有了 tangent 的值并想求 X 的值，所以我们将使用 arctan。 Math.Atan2(opposite/adjacent)。这将以弧度为您提供答案。

编辑：哦，我记得你可以使用 draw 的 origin 参数绘制精灵，所以 center of the sprite will be rendered at the center of the sprite bitmap。这样您就不必担心计算圆心。

Answer 2

从数学上讲，如果你有两个向量，假设 A(0, -1) 和 B(222, 90) 两个向量之间的角度 X 可以计算为 cos(X)=(A.B)/(| |A||.||B||)。

1. A x B = (a1 x b1) + (a2 x b2) = 0x222 + (-1x90) = 0 - 90 = -90。

2.I. ||一个|| = 平方根[0^2+(-1)^2] = sqrt[(-1)^2] = 1

2.II. ||B|| = squareroot[222^2+90^2] = sqrt(57384) ~= 239.55 (~= 大约)

2.III. ||A||.||B|| = 1 x 239.55 ~= 239.55

结果：cos(X) ~= (-90)/(239.55) ~= X ~= cos^-1(X) ~= 1.955 弧度。

对于你上面给出的向量，你寻找的角度大约是 1.955 弧度。

注意：使用计算器，您将获得精确值，与近似值非常接近。