我有线段和椭圆（不是平面和椭圆体）转换为3d 空间，需要计算两个给定线段是否相交以及在哪里。
我正在使用 Java，但还没有找到可以解决我的问题的库，也没有找到一些可以用于我自己的实现的算法。
【问题讨论】：
标签： java 3d line intersection ellipse
对于线-线相交测试有几种解决方法。经典的方式是使用线性代数（即求解线性矩阵系统），但从软件开发的角度来看，我更喜欢几何代数方式，采用 Plucker Coordinates 的形式，它只需要实现向量代数运算（即， cross-product 和 dot-product) 比求解线性系统的矩阵运算更简单。
为了比较，我将两者都显示，然后您决定：
线性代数法
给定线段 P 由点 P1 和 P2 限制，线段 Q 由点 Q1 和 Q2 限制。
线的参数形式由下式给出：
P(t) = P1 + t (P2 - P1)
Q(t) = Q1 + t (Q2 - Q1)
其中 t 是区间 [0 1] 中的实数。
如果两条线相交，则以下等式成立：
P(t0) = Q(t1)
假设存在两个未知数 t0 和 t1。展开上面的方程我们得到：
t0 (P2 - P1) - t1 (Q2 - Q1) = Q1 - P1
我们可以通过用矩阵代数表达上述方程来求解t0和t1：
A x = B
其中 A 是一个 3x2 矩阵，第一列是向量 (P2 - P1) 的坐标，第二列是向量 (Q2 - Q1) 的坐标； x 是未知数 t0 和 t1 的 2x1 列向量，B 是具有向量坐标 (Q1 - P1) 的 3x1 列向量。
系统可以通过计算矩阵 A 的伪逆来求解，记为 A^+：
A^+ = (A^T A)^-1 A^T
见： https://en.m.wikipedia.org/wiki/Generalized_inverse
幸运的是，Java 中的任何矩阵包都应该能够非常轻松地计算上述计算，也许也非常有效。
如果将 A 与其伪逆 A^+ 相乘等于单位矩阵 I，即 (A A^+) == I，则存在唯一答案（交集），您可以通过以下计算得到它产品：
x = A^+ B
当然，如果您一开始就无法计算伪逆，例如，因为 (A^T A) 是奇异的（即行列式为零），则不存在交集。
由于我们正在处理线段，因此交点在点 P(x0) 或 Q(x1) 上，当且仅当 x0 和 x1 都在区间 [0 1] 内。
其他解决方法
为了避免处理矩阵代数，我们可以尝试使用向量代数和替换方法来求解系统：
t0 (P2 - P1) - t1 (Q2 - Q1) = Q1 - P1
t0 = a + t1 b
t1 = C • (Q1 - (1 - a) P1 - a P2) / |C|^2
地点：
a = (P2 - P1) • (Q1 - P1) / |P2 - P1|^2
b = (P2 - P1) • (Q2 - Q1) / |P2 - P1|^2
C = b (P2 - P1) - (Q2 - Q1)
我还不能提供上述结果的几何直觉。
Plucker坐标方式
给定线段 P 由点 P1 和 P2 限制，线段 Q 由点 Q1 和 Q2 限制。
线 P 的 Plucker 坐标由一对 3d 向量 (Pd, Pm) 给出：
Pd = P2 - P1
Pm = P1 x P2
其中 Pm 是 P1 和 P2 的叉积。 Q线的Plucker坐标(Qd,Qm)可以用同样的方法计算出来。
线 P 和 Q 只有在它们共面时才能相交。 Thr线P和Q是共线iif：
Pd • Qm + Qd • Pm = 0
其中 (•) 是点积。由于机器的精度有限，因此稳健的测试不应该检查零，而是检查少量。如果 Pd x Qd = 0，那么线是平行的（这里 0 是零向量）。对于 (Pd x Qd) 的平方长度很小的情况，再次进行稳健的测试。
如果线不平行，则它们是共面的，它们的交点（在 Plucker 的行话中称为“相遇”）将是点：
x = ((Pm • N) Qd - (Qm • N) Pd - (Pm • Qd) N) / (Pd x Qd) • N
其中 N 是任何坐标轴矢量（即 (1,0,0) 或 (0,1,0) 或 (0,0,1)），因此 (Pd x Qd) • N 是非零。
如果 P 和 Q 都不通过原点，那么它们的 Plucker 坐标 Pm 和 Qm 分别不为零，下面的 sinpler 公式将起作用
x = Pm x Qm / Pd • Qm
有关 Plucker 坐标的介绍，请参阅：
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Plücker_coordinates
http://www.realtimerendering.com/resources/RTNews/html/rtnv11n1.html#art3
对于一般的交集公式，请参见“推论 6”：
http://web.cs.iastate.edu/~cs577/handouts/plucker-coordinates.pdf
将椭圆前后转换为圆
我们总是可以把一个椭圆变成一个圆。椭圆有两个“半径”，称为半轴，您可以在脑海中将其可视化为两个正交向量，一个大的称为主半轴，一个小的称为次半轴。您可以对两个半轴向量应用非均匀缩放变换，以使它们大小相等，从而得到一个圆。
我们通过它的中心 O 定义一个椭圆“E”，它是一个 3d 点和它的两个半轴 A1 和 A2，它们也是 3d 向量。椭圆平面的法线向量 N 可以通过其半轴 N = A1 x A2 的叉积计算，然后将其归一化为单位长度。
现在假设有一个线性函数 M 可用于将椭圆 E 转换（缩放）为半径等于次半轴的圆 C，方法是将其应用于椭圆的半轴 A1 和A2 到椭圆的中心 O。
注意椭圆的中心O和椭圆的法向量N并没有被M改变。所以M(N) = N和M(O) = O。这意味着圆在同一个平面上并且具有相同的位置C 比椭圆。线性函数M有一个对应的反函数M^-1，所以我们可以将圆的向量变换回原来的椭圆E。
当然，我们也可以使用函数 M 转换线 P 和 Q 的端点，将它们发送到“圆形空间”，我们可以使用 M^-1 将它们发送回“椭圆空间”。
使用 M，我们可以计算线 P 和 Q 与圆空间中的椭圆 E 的交点。所以现在我们可以关注线圆交点了。
线平面交点
给定一个具有法向量 N 和距离 D 的平面，使得：
N • x + D = 0
对于平面中的每个点 x。那么与 Plucker 坐标 (Pd, Pm) 的线 P 的交点由下式给出：
x = (N x Pm - D Pd) / N • Pd
仅当线 P 不在平面内时才有效，即：
(N • P1 + D) != 0 和 (N • P2 + D) != 0
对于我们的椭圆 E，我们有：
N = (A1 x A2)/|A1 x A2|
D = -N • O
线-圆和点-圆的交点
现在有了 x，圆点检查很容易：
|O - x|
只有当 x 在圆边界内时，等式才成立。
如果线 P 在圆的平面内，那么下面的简单检查会给你答案：
https://stackoverflow.com/a/1079478/9147444
如何计算线性函数M
计算 M 的简单方法如下。使用椭圆的法线向量 N 和半轴 A1 和 A2 创建一个 3x3 矩阵 U。这样 U 就以向量 A1、A2 和 N 作为列。
然后缩放主要半轴 A1，使其与次要半轴 A2 具有相同的长度。然后创建矩阵 V 以使 V 具有新的向量 A1 和 A2 以及 N 作为列。
然后我们定义线性矩阵系统：
R U = V
其中 R 是一个 3x3（非均匀）缩放旋转矩阵。
我们可以通过将等式两边乘以 U 的倒数 U^-1 来求解 R
R U U^-1 = V U^-1
由于 U U^-1 是我们得到的单位矩阵：
R = V U^+
我们使用 R 定义仿射变换
M(x) = R (x - O) + O
我们可以使用 M 将点转换为圆空间，例如 O、P1、P2、Q1 和 Q2。但是如果我们需要对A1、A2、N、Pd和Qd等向量进行变换。我们需要使用更简单的 M：
M(x) = R x
由于 A1、A2 和 N 是 R 的特征向量，因此 R 不是奇异的并且具有逆。我们将逆 M 定义为：
M^-1(x) = R^-1 (x - O) + O
对于向量：
M^-1(x) = R^-1 x
更新：椭圆-椭圆相交
两个相交的非共面 3d 椭圆的交点位于由它们的平面相交形成的线上。因此，您首先找到由包含椭圆的平面相交形成的线（如果平面不相交，即它们平行，则椭圆都不相交）。
相交线属于两个平面，因此它垂直于两个法线。方向向量V是平面法线的叉积：
V = N1 × N2
要完全确定直线，我们还需要在直线上找到一个点。我们可以解决平面的线性方程。给定 2x3 矩阵 N = [N1^T N2^T]，法线 N1 和 N2 作为行，以及 2x1 列向量 b = [N1 • C1, N2 • C2]，其中 C1 和 C2 是椭圆的中心，我们可以形成线性矩阵系统：
N X = b
其中 X 是满足两个平面方程的某个点。系统是欠定的，因为满足系统的直线上有无数个点。我们仍然可以通过使用矩阵 N 的伪逆来找到更接近原点的特定解，记为 N^+。
X = N^+ b
直线方程为
L(t) = X + t V
对于一些标量 t。
然后您可以应用前面描述的方法来测试线-椭圆相交，即将椭圆缩放为圆形并与共面线相交。如果两个椭圆在同一点与直线相交，则它们相交。
现在，椭圆实际上位于同一平面上的情况更加复杂。您可以在 Eberly 博士的优秀著作《几何工具》（也可在线获取）中查看该方法：
https://www.geometrictools.com/Documentation/IntersectionOfEllipses.pdf
您还可以查看开源的 C++ 源代码：
https://www.geometrictools.com/GTEngine/Include/Mathematics/GteIntrEllipse2Ellipse2.h
【讨论】：