从 Euler ZXZ 旋转转换为固定轴 XYZ 旋转

Question

我遇到的问题是，我需要从 XYZ 固定轴旋转转换为围绕 Z 的欧拉旋转，然后是 X'，然后是 Z''。

以下是相关矩阵：

X：

Y：

Z：

组合，如 Rz(psi) Ry(phi) Rx(theta) = Rxyz(theta,phi,psi);他们给：

Rxyz：

以及我想要的欧拉角特定约定的旋转矩阵；这是：

欧拉：

所以我最初的计划是比较矩阵元素，然后提取我想要的角度；我想出了这个（最后是实际的当前代码）：

但这在某些情况下不起作用。最明显的是当 Cos(theta)Cos(phi) == 1;从那时起 Cos(beta) = 1，因此 Sinβ = 0。其中 Sin(beta) 在代码中是 s2。这仅在 Cos(theta) 和 cos(phi) = +/- 1 时发生。

所以我马上就可以排除可能的情况了；

当 theta 或 phi = 0, 180, 360, 540, ...，则 Cos(theta) 和 Cos(phi) 为 +/- 1；

所以我只需要针对这些情况采取不同的做法；

我最终得到了这段代码：

public static double[] ZXZtoEuler(double θ, double φ, double ψ){

    θ *= Math.PI/180.0;
    φ *= Math.PI/180.0;
    ψ *= Math.PI/180.0;

    double α = -1;
    double β = -1;
    double γ = -1;

    double c2 = Math.cos(θ) * Math.cos(φ);

    β = Math.acos(r(c2));

    if(eq(c2,1) || eq(c2,-1)){
        if(eq(Math.cos(θ),1)){
            if(eq(Math.cos(φ),1)){
                α = 0.0;
                γ = ψ;
            }else if(eq(Math.cos(φ),-1)){
                α = 0.0;
                γ = Math.PI - ψ;
            }
        }else if(eq(Math.cos(θ),-1)){
            if(eq(Math.cos(φ),1)){
                α = 0.0;
                γ = -ψ;
            }else if(eq(Math.cos(φ),-1)){
                α = 0.0;
                γ = ψ + Math.PI;
            }
        }
    }else{

        //original way

        double s2 = Math.sin(β);

        double c3 = ( Math.sin(θ) * Math.cos(φ) )/ s2;
        double s1 = ( Math.sin(θ) * Math.sin(ψ) + Math.cos(θ) * Math.sin(φ) * Math.cos(ψ) )/s2;

        γ = Math.acos(r(c3));
        α = Math.asin(r(s1));

    }

    α *= 180/Math.PI;
    β *= 180/Math.PI;
    γ *= 180/Math.PI;

    return new double[] {r(α), r(β), r(γ)};
}

其中 r 和 eq 只是两个简单的函数；

public static double r(double a){
    double prec = 1000000000.0;
    return Math.round(a*prec)/prec;
}

static double thresh = 1E-4;
public static boolean eq(double a, double b){
    return (Math.abs(a-b) < thresh);
}

eq 只是为了比较测试的数字，而 r 是为了防止浮点错误将数字推到 Math.acos / Math.asin 范围之外并给我 NaN 结果；

（即我时不时会以 Math.acos(1.000000000000000004) 或其他东西结束。）

其中考虑了围绕 x 和 y 旋转的 4 种情况，这使得 c2==1。

但是现在问题出现了；

我在上面所做的一切对我来说都是有意义的，但它没有给出正确的角度；

这是一些输出，在每一对中，第一个是 theta phi psi 角度，每对中的第二个是对应的 alpha beta gamma 线。忽略舍入误差，它似乎使一些角度偏离了大约

[0.0, 0.0, 0.0] - correct!
[0.0, 0.0, 0.0]

[0.0, 0.0, 45.0] - correct!
[0.0, 0.0, 45.0]

[0.0, 0.0, 90.0] - correct!
[0.0, 0.0, 90.0]

[0.0, 0.0, 135.0] - correct!
[0.0, 0.0, 135.0]

[0.0, 0.0, 180.0] - correct
[0.0, 0.0, 180.0]

[0.0, 0.0, 225.0] - correct
[0.0, 0.0, 225.0]

[0.0, 0.0, 270.0] - correct
[0.0, 0.0, 270.0]

[0.0, 0.0, 315.0] - correct
[0.0, 0.0, 315.0]

[0.0, 45.0, 0.0] - incorrect: should be [90, 45, -90]
[90.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 45.0]
[45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 90.0]
[0.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 135.0]
[-45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 180.0]
[-90.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 225.0]
[-45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 270.0]
[0.0, 44.999982, 90.0]

[0.0, 45.0, 315.0]
[45.000018, 44.999982, 90.0]

[0.0, 90.0, 0.0]
[90.0, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 45.0]
[45.000018, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 90.0]
[0.0, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 135.0]
[-45.000018, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 180.0]
[-90.0, 90.0, 90.0]

[0.0, 90.0, 225.0]
[-45.000018, 90.0, 90.0]

我认为这是由于 Math.acos 和 Math.asin 的工作方式，有人能想到解决方案吗？

编辑：math.asin 和 math.acos 分别返回 -pi/2 和 pi/2 以及 0 和 pi 之间的值。这不是模棱两可的，所以我认为问题不在这里。似乎我可能在某处数学有误，但我看不出我的推理有什么漏洞......

EDIT2：对于任何不知道欧拉旋转如何工作的人来说，它是这样的：

即围绕Z旋转，然后围绕新的X轴（X'）然后围绕新的Z' ' 轴。

Answer 1

我还没有完全弄清楚这一点，但我确实注意到了一件事：您使用 arccos/arcsin 函数就好像 cos/sin 是双射的，只是取它们的倒数。但是，在使用 arccos 时，请考虑使用弧函数的 general solutions。比如cos y = x，那么就有两个（嗯，无穷多个）解：

• y = arccos x + 2kPI，其中k element Z
• y = 2PI - arccos x + 2kPI,k 同上

使用k=-1，最后一个等式简化为

• y = -arccos x

所以总的来说，y = +- arccos x。这基本上归结为cos 与x=0 轴对称的事实。类似的论点适用于arcsin，导致y = PI - asin x（k=0 在sin y = x 的通解中）

这立即适用于您的代码。声明γ = Math.acos(r(c3)); 必须以某种方式考虑符号。我在这个问题上苦苦挣扎，必须有一个标准来解决“不正确”的解决方案。