以有效的方式查找 PowerSet 的特定子集集

Question

我正在尝试找到一种有效的方法来获取 PowerSet 的一组子集。

例如，这适用于集合尺寸较小的情况：

Set<Integer> set = new HashSet<Integer>();
set.add(1);
set.add(2);
set.add(3);

Set<Integer> set2 = new HashSet<Integer>();
set2.add(3);


Set<Set<Integer>> sets = MyUtils.powerSet(set); //size - 8 SubSets
Set<Set<Integer>> badSets = MyUtils.powerSet(set2); //size - 2 SubSets

//my set of subsets of the powerset
sets.removeAll(badSets) //size - 6 SubSets

但是，当向这些集合中添加更多元素时，这将变得不切实际。还有其他方法吗？

只是友好地提醒一下 PowerSet 是什么：

{a,b,c} 的幂集：

P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Answer 1

如果从 P(A) 中删除 P(B) 后，一组是另一组的子集（A，B 大小为 m，n），则您有 2ⁿ - 2^{m sup> 元素，如果 B 不是 A 的子集，你可以再次假设 B'=A intersection with B 并且我们有类似的关系，所以数字很大。}

例如假设 A-B 有一个元素，|P(A)-P(B)| = 2ⁿ - 2^(n-1) = 2^(n-1)，例如对于 n = 40 你不能迭代所有项目。

无论如何，一种方法如下：

有一个以 2 为底的大小为 n 的计数器，首先将 m+1 位设置为 1 并将所有其他位设置为 0 然后打印结果，每次将计数器增加（加一）并将结果打印到丰富到 2 ^{n - 1}。这是 O(2ⁿ - 2^m)。

Answer 2

尝试另一种方式：

调用 set3 = set - set2;

然后Powerset(set) - Poserset(set2) = Powerset(set3) x (Powerset(set)- {});

这里的 x 是 2 集的笛卡尔倍数。

如果 set3 有 x 元素，set2 有 y 元素，那么用这种方法，它的复杂度在 2^(x+y) 左右，而如果尝试直接删除它，复杂度在 2^(x + 2Y) 左右。

Hth.

Answer 3

听起来像是零抑制决策图的工作。它们支持集合减法，并且在 ZDD 中创建一个数字范围的幂集是微不足道的（实际上生成的 ZDD 的节点非常少）。这意味着不对称差异也将快速运行，因为它位于两个小的 ZDD 上，并且仅取决于节点中 ZDD 的大小，而不是它们包含的集合数量的大小。我不知道接下来你会用它做什么，但不管它是什么，你总是可以枚举 ZDD 中的所有集合并将它们放入其他数据结构中。

Answer 4

为了从另一个中减去一个幂集，扣除的幂集计算是多余的。这是要走的路：

public static <T>void removePowerSet(
        Collection <? extends Collection <T>> powerSet,
        Collection <T> removedComponents){
    Iterator <? extends Collection <T>> powerSetIter = powerSet.iterator();
    while (powerSetIter.hasNext()) {
        Collection <T> powerSetSubset = powerSetIter.next();
        if (removedComponents.containsAll(powerSetSubset)) {
            powerSetIter.remove();
        }
    }
}

此算法在多项式时间内执行 - O(n²) 对于 HashSet

现在您可以调用removePowerSet(sets, set2) 或removePowerSet(sets, Arrays.asList(3)) 来获取示例中的结果。