使用约束 R 进行优化

Question

我正在尝试解决以下优化问题， 我想最小化距离 (log(1+exp(x))-ax^2-bx-c)^2，关于 x 周围区域中的一些参数 a,b,c，但也要满足不等式对于所有 x，log(1+exp(x))

Answer 1

1/ 情况 1（a , b , c 是常量）：

library(nloptr)

fn <- function(x,a=1,b=1,c=1) { 
(log(1+exp(x))-a*x^2-b*x-c)^2
}

fn(1)

eval_g0 <-function( x, a=1,b=1,c=1 ) { return( log(1+exp(x))-a*x^2-b*x-c) }

eval_g0(0)
a=1
b=1
c=1
res1 <-nloptr(x0=c(10),eval_f=fn,lb =c(-Inf),ub =c(Inf),eval_g_ineq =eval_g0,opts =list("algorithm"="NLOPT_LN_COBYLA","xtol_rel"=1.0e-8),a =a,b =b ,c=c)

res1

这会输出以下内容：.

[1] 2.845086
[1] -0.3068528

Call:

nloptr(x0 = c(10), eval_f = fn, lb = c(-Inf), ub = c(Inf), eval_g_ineq = eval_g0, 
    opts = list(algorithm = "NLOPT_LN_COBYLA", xtol_rel = 1e-08), 
    a = a, b = b, c = c)


Minimization using NLopt version 2.4.2 

NLopt solver status: 4 ( NLOPT_XTOL_REACHED: Optimization stopped because 
xtol_rel or xtol_abs (above) was reached. )

Number of Iterations....: 42 
Termination conditions:  xtol_rel: 1e-08 
Number of inequality constraints:  1 
Number of equality constraints:    0 
Optimal value of objective function:  0.0554408002852988 
Optimal value of controls: -0.2854395

要了解事情的运作方式，您可以查看：

https://cran.r-project.org/web/packages/nloptr/vignettes/nloptr.pdf

2/ 案例 2 x, a, b , c 是变量：

如果a,b,c也是变量，只需使用向量x作为入口：

library(nloptr)

fn <- function(x) { 
a=x[2]
b=x[3]
c=x[4]
return((log(1+exp(x[1]))-a*(x[1])^2-b*(x[1])-c)^2)
}



eval_g0 <-function(x) { 
a=x[2]
b=x[3]
c=x[4]
return((log(1+exp(x[1]))-a*(x[1])^2-b*(x[1])-c)^2) }


res1 <-nloptr(x0=rep(18,4),eval_f=fn,lb =rep(-Inf,4),ub =rep(Inf,4),eval_g_ineq =eval_g0,opts =list("algorithm"="NLOPT_LN_COBYLA","xtol_rel"=1.0e-8))

res1

在这里您可以通知x[1]（它是向量x 的第一个元素）只是您的主函数变量x 的f(x,a,b,c) 的4 variables。输出如下：

Number of Iterations....: 100 
Termination conditions:  xtol_rel: 1e-08 
Number of inequality constraints:  1 
Number of equality constraints:    0 
Current value of objective function:  2.47413071040375e-09 
Current value of controls: -1.977346 6.058104 19.29975 14.60534 

pb的解决方法是：x=-1.977346, a=6.058104 , b=19.29975 , c=14.60534

让我们验证约束g：

print(c("the constraint value for x is : "))
eval_g0(c(x=-1.977346, a=6.058104 , b=19.29975 , c=14.60534))

[1] "the constraint value for x is : "
           x 
1.232363e-09 

这里通常，我们应该期望约束值的负数，而不是接近0 的非常小的数字。但是，正如nloptr documentation 第 12 页所述：

" 点 x 被认为是可行的 用于判断是否停止优化 if eval_g_ineq(x) "

在我们的例子中，我们有eval_g_ineq(x)= 1.232363e-09 <= tol=1e-08。这意味着事情进展顺利，我们（从数字上讲）在可行性范围内。

3/ 另一个约束优化问题：

我们将解决另一个受限问题。在$ 1-x <= 0 $ 下最小化$ f= x^2 $。约束等效于 $ 1 <= x $ 并且目标函数在 [1, + inf [ 中增加。我们将简单地将x*=1 作为约束问题的最佳值。让我们检查一下：

library(nloptr)

fn <- function(x) { 

return(x^2)

}



eval_g0 <-function(x) { 

return(1-x)

}


res1 <-nloptr(x0=rep(14),eval_f=fn,eval_g_ineq =eval_g0,opts =list("algorithm"="NLOPT_LN_COBYLA","xtol_rel"=1.0e-8))

res1

print(c("the constraint value for x is : "))

eval_g0(0.999999902845997)

这给出了以下内容：

Call:

nloptr(x0 = rep(14), eval_f = fn, eval_g_ineq = eval_g0, opts = list(algorithm = "NLOPT_LN_COBYLA", 
    xtol_rel = 1e-08))


Minimization using NLopt version 2.4.2 

NLopt solver status: 4 ( NLOPT_XTOL_REACHED: Optimization stopped because 
xtol_rel or xtol_abs (above) was reached. )

Number of Iterations....: 18 
Termination conditions:  xtol_rel: 1e-08 
Number of inequality constraints:  1 
Number of equality constraints:    0 
Optimal value of objective function:  0.999999902845997 
Optimal value of controls: 1


[1] "the constraint value for x is : "
[1] 9.7154e-08