R中的约束优化

Question

我正在尝试在 R 中使用 http://rss.acs.unt.edu/Rdoc/library/stats/html/constrOptim.html 在 R 中使用一些给定的线性约束进行优化，但无法弄清楚如何设置问题。

例如，我需要最大化 $f(x,y) = log(x) + \frac{x^2}{y^2}$ 受限于 $g_1(x,y) = x+y 0$ 和 $g_3(x,y) = y > 0$。我如何在 R 中做到这一点？这只是一个假设的例子。不要担心它的结构，相反我很想知道如何在 R 中设置它。

谢谢！

Answer 1

设置函数很简单：

fr <- function(x) {      x1 <- x[1]
    x2 <- x[2]
    -(log(x1) + x1^2/x2^2)  # need negative since constrOptim is a minimization routine
}

由于缺乏大量文档，设置约束矩阵存在问题，我求助于实验。帮助页面显示“可行区域由 ui %*% theta - ci >= 0 定义”。所以我进行了测试，这似乎“有效”：

> rbind(c(-1,-1),c(1,0), c(0,1) ) %*% c(0.99,0.001) -c(-1,0, 0)
      [,1]
[1,] 0.009
[2,] 0.990
[3,] 0.001

所以我为每个约束/边界放置一行：

constrOptim(c(0.99,0.001), fr, NULL, ui=rbind(c(-1,-1),  # the -x-y > -1
                                              c(1,0),    # the x > 0
                                              c(0,1) ),  # the y > 0
                                           ci=c(-1,0, 0)) # the thresholds

对于这个问题，存在一个潜在的困难，即对于 x 的所有值，函数在 y -> 0 时变为 Inf。即使我推入起始值，我也会在 x=.95 和 y=0 附近获得最大值到“角落”，但我有点怀疑这不是我猜想是在“角落”的真正最大值。 编辑： 为此，我推断渐变可能会提供额外的“方向”并添加了渐变函数：

grr <- function(x) { ## Gradient of 'fr'
    x1 <- x[1]
    x2 <- x[2]
    c(-(1/x[1] + 2 * x[1]/x[2]^2),
       2 * x[1]^2 /x[2]^3 )
}

这确实“引导”优化更接近 c(.999..., 0) 角，而不是像一些起始值那样远离它。当起始值接近可行区域的中心时，该过程似乎“走向悬崖”，我仍然有些失望：

 constrOptim(c(0.99,0.001), fr, grr, ui=rbind(c(-1,-1),  # the -x-y > -1
                                               c(1,0),    # the x > 0
                                               c(0,1) ),  # the y > 0
                                            ci=c(-1,0, 0) )
$par
[1]  9.900007e-01 -3.542673e-16

$value
[1] -7.80924e+30

$counts
function gradient 
    2001       37 

$convergence
[1] 11

$message
[1] "Objective function increased at outer iteration 2"

$outer.iterations
[1] 2

$barrier.value
[1] NaN

注意：Hans Werner Borchers 在 R-Help 上发布了一个更好的示例，该示例通过将约束设置为稍微远离边缘来成功获取角值：

> constrOptim(c(0.25,0.25), fr, NULL, 
              ui=rbind( c(-1,-1), c(1,0),   c(0,1) ),  
              ci=c(-1, 0.0001, 0.0001)) 
$par
[1] 0.9999 0.0001