三边测量算法将 3 个圆尽可能靠近而不重叠

Question

我有两个圆圈，它们完美地位于彼此的边界上。它们有位置 A 和 B（都是向量），以及半径 Ra 和 Rb。

现在我添加第三个半径为 Rc 的圆。如何找到三个圆尽可能靠近而不重叠的位置向量C？

我写这篇文章是为了我正在建立的网站的插图，所以效率加分:)

编辑： 当我最初发布时，我没有足够的代表来发布插图。 其中两个圆（B 和 C）将重叠，但与 A 相切。我想将 C 移出它与 B 共享的重叠区域，进入虚线。

编辑 2： 很抱歉，这太不清楚了，我创建了一个图表来试图解释我正在尝试做的事情。

我正在 Pixi.js 中创建一个插图，这是一个简单的 canvas/webGL 库。我正在使用 Vectors（通过 Victor.js）来定位圆圈并移动它们。

我随机生成一堆圆圈，然后我将最大的圆圈 (A) 放在容器的中间。之后，我想将 A 周围的所有圆圈聚集在一起，在发生碰撞时解决它们。这很重要，因为我将在用户点击或悬停单个圆圈时缩放它们。

对于没有碰撞的简单情况，矢量解决方案非常简单，如果可能，我想解决两个圆以相同方式碰撞的情况。

Answer 1

答案是找到形成边长为：Ra+Rb、Ra+Rc、Rb+Rc 的三角形的点。这就是所谓的三边求解，但你会得到 2 个可能的答案。

这里使用的基本公式是余弦定律：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(gamma)

让我们定义我们的长度为：

1. La = Ra+Rb
2. Lb = Rb+Rc
3. Lc = Rc+Ra

我们将首先找到 AB 和 AC 之间的角度。求解arccos(a) = (Lb^2 + Lc^2 - La^2) / 2*Lb*Lc
（如果此时你已经有了AB的坐标系角度，可以跳到第三步）

第二步，求AB相对于X轴的坐标系夹角。这是使用基本三角函数完成的。求高度h = Ay - By，角度为arcsin(b) = h / La。

第三步是添加或减去（2 个答案！）角度 a 和 b，这是从点 A 开始的向量的方向，其中点 C 位于距离 Lc 处。要找到 C，请再次使用三角函数。

Cx = Ax + Lc * cos(a + b)
Cy = Ay + Lc * sin(a + b)

Answer 2

当圆相互接触时，圆心之间的距离称为半径之和。求解这个方程组并找到Cx,Cy 坐标。有两种可能的解决方案。将坐标原点放在一个圆的中心时解决方案更简单。

(Cx-Ax)^2 + (Cy-Ay)^2 = (Ra+Rc)^2
(Cx-Bx)^2 + (Cy-By)^2 = (Rb+Rc)^2

Answer 3

如果您假设第一个圆 (A) 的中心是 (0,0)，而第二个圆 (B) 的中心在正的 x 轴上，那么问题就简化了。如果不是这种情况，您可以将A 的中心平移到(0,0)，然后旋转平面使其成为这种情况。 （然后在最后反转这些操作以恢复原始配置。）

那么C的中心距离A的中心距离A.R + C.R，C的中心距离B的中心距离B.R + C.R，其中@987654333 @、B.R、C.R 是圆的半径A、B、C。也就是说C的圆心在两个圆的交点上

      x^2 + y^2 = (A.R + C.R)^2
(x-B.x)^2 + y^2 = (B.R + C.R)^2

其中(B.x,0) 是圆心B。从第二个方程中减去第一个方程，我们得到

-2*B.x*x + B.x^2 = B.R^2 + 2*B.R*C.R - A.R^2 - 2*A.R*C.R

也就是说C的中心有x坐标

C.x = (A.R^2 + 2*A.R*C.R + B.x^2 - B.R^2 - 2*B.R*C.R)/(2*B.x)

现在我们有了C.x，我们可以很容易地计算出C.y：

C.y = plus or minus sqrt((A.R+C.R)^2 - C.x^2)

现在反转您在开始时应用的转换，如果有的话（先反转旋转，然后反转平移），您将拥有C 的最终中心。

如果您不想应用初始平移和旋转，当然，您仍然可以解决问题，但代数有点混乱。