准备工作
首先，让我们松散地声明f 在O(g(n)) 中的定义（注意：O(g(n)) 是一个函数集，所以为了挑剔，我们说@987654324 @ 在O(...) 中，而不是f(n) 在O(...) 中）。
如果一个函数f(n)是in O(g(n))，那么c·g(n)是一个上界
f(n)，对于某个常数 c 使得 f(n) 总是 ≤ c · g(n)，
对于足够大的 n（即，对于某个常数 n0，n ≥ n0）。
因此，为了证明f(n) 在O(g(n)) 中，我们需要找到一组满足的常数 (c, n0)
f(n) < c · g(n), for all n ≥ n0, (+)
但是这个集合不是唯一的。即，找到使 (+) 成立的常数 (c, n0) 的问题是简并。事实上，如果存在任何这样的常数对，就会存在无数个不同的这样的常数对。
显示f ∈ O(n^4)
现在，让我们继续看看让你感到困惑的例子
求函数的上渐近界
f(n) = n^4 + 100n^2 + 50 (*)
一种直接的方法是用高阶项表示(*) 中的低阶项，具体而言，w.r.t.界限 (... < ...)。
因此，我们看看是否可以在 n 上找到一个下限，使得以下成立
100n^2 + 50 ≤ n^4, for all n ≥ ???, (i)
通过解方程，我们可以很容易地找到 (i) 中的等式何时成立
m = n^2, m > 0
m^2 - 100m - 50 = 0
(m - 50)^2 - 50^2 - 50 = 0
(m - 50)^2 = 2550
m = 50 ± sqrt(2550) = { m > 0, single root } ≈ 100.5
=> n ≈ { n > 0 } ≈ 10.025
因此，(i) 对 n ≳ 10.025 成立，但我们更愿意在 n 上用一个整洁的整数值表示这个界限，因此四舍五入到 11：
100n^2 + 50 ≤ n^4, for all n ≥ 11, (ii)
从(ii) 看来，以下内容显然成立
f(n) = n^4 + 100n^2 + 50 ≤ n^4 + n^4 = 2 · n^4, for all n ≥ 11, (iii)
这种关系正是(+) 与c = 2、n0 = 11 和g(n) = n^4，因此我们已经证明了f ∈ O(n^4)。然而，再次注意，常量c 和n0 的选择是方便 之一，这不是唯一的。由于我们已经证明(+) 适用于一组常数(c,n0），我们可以证明它适用于无数种不同的常数选择（例如，它自然适用于c=10 和n0=20 , ... 等等）。